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Introducción
En cursos anteriores aprendiste a sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones y números decimales por separado. En esta lección vas a resolver expresiones combinadas, en las que aparecen varias operaciones, paréntesis, fracciones y decimales a la vez. La clave está en respetar el orden de las operaciones y en elegir bien si trabajas con fracciones o con decimales.
Explicación
1. Jerarquía de las operaciones. En una expresión con varias operaciones se resuelve siempre en este orden:
Primero, lo que está dentro de los paréntesis (y corchetes).
Después, las potencias y raíces.
Luego, las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
Por último, las sumas y restas, de izquierda a derecha.
2. Operaciones con fracciones.
Suma y resta: se reducen a común denominador (lo más cómodo es usar el mínimo común múltiplo de los denominadores) y se suman o restan los numeradores. Ejemplo: 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12.
Multiplicación: numerador por numerador y denominador por denominador. Ejemplo: 3/5 · 10/9 = 30/45 = 2/3.
División: se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. Ejemplo: 1/2 : 3/4 = 1/2 · 4/3 = 4/6 = 2/3.
Conviene simplificar los resultados (y, si se puede, antes de multiplicar) para trabajar con números más pequeños.
3. Fracciones y decimales juntos. Cuando en una misma expresión hay fracciones y decimales, es mejor pasar todo a la misma forma. Un decimal exacto se convierte en fracción poniendo como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene, y simplificando: 0,75 = 75/100 = 3/4; 0,2 = 2/10 = 1/5. Trabajar con fracciones evita errores de redondeo, porque algunas fracciones, como 1/3, dan decimales infinitos (0,333…).
4. Errores frecuentes. Sumar numeradores y denominadores por separado (1/2 + 1/4 no es 2/6), operar de izquierda a derecha sin respetar la jerarquía y olvidar invertir la segunda fracción al dividir.
Ejemplo
Ejemplo 1. Calcula (2/3 + 1/4) · 6/5 − 1/2 : 3/4.
Paréntesis: 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12.
Multiplicación: 11/12 · 6/5 = 66/60 = 11/10.
División: 1/2 : 3/4 = 1/2 · 4/3 = 4/6 = 2/3.
Resta final: 11/10 − 2/3 = 33/30 − 20/30 = 13/30.
Ejemplo 2. Calcula 0,25 · (1/2 + 0,75).
Pasamos los decimales a fracción: 0,25 = 1/4 y 0,75 = 3/4.
Paréntesis: 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4.
Multiplicación: 1/4 · 5/4 = 5/16, que en decimal es 0,3125.
Ejercicios
Calcula 3/4 − 1/2 · 2/3.
Calcula 1,2 : (1/2 − 0,1).
Material adicional
Potencias y raíces: profundización
Ampliamos el estudio de las potencias y las raíces con exponentes negativos, raíces de índice n y la relación entre potencias y raíces.
Potencias con exponente negativo
🔢 Fórmula
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (a ≠ 0)
📘 Ejemplo
2⁻³ = 1/2³ = 1/8
5⁻² = 1/5² = 1/25
10⁻⁴ = 1/10⁴ = 0,0001
(3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9 (se invierte la fracción y se cambia el signo del exponente)
Propiedades extendidas de las potencias
Todas las propiedades de las potencias se aplican también con exponentes negativos:
📘 Ejemplo
Producto: 2³ × 2⁻⁵ = 2³⁻⁵ = 2⁻² = 1/4
Cociente: 3⁻¹ ÷ 3⁻⁴ = 3⁻¹⁻⁽⁻⁴⁾ = 3³ = 27
Potencia de potencia: (5⁻²)³ = 5⁻⁶ = 1/5⁶ = 1/15.625
Raíz n-ésima
La raíz n-ésima de un número a es el número b tal que bⁿ = a:
🔢 Fórmula
ⁿ√a = b ⟺ bⁿ = a
Raíz
Significado
Resultado
³√8
b³ = 8
2 (porque 2³ = 8)
³√27
b³ = 27
3 (porque 3³ = 27)
³√−8
b³ = −8
−2 (porque (−2)³ = −8)
⁴√16
b⁴ = 16
2 (porque 2⁴ = 16)
⁵√32
b⁵ = 32
2 (porque 2⁵ = 32)
⚠️ Importante
Las raíces de índice par solo existen para números positivos (o cero). Las raíces de índice impar existen para cualquier número real.
Relación entre potencias y raíces
🔢 Fórmula
ⁿ√a = a^(1/n)
Esta relación permite expresar cualquier raíz como una potencia con exponente fraccionario: