Operaciones con decimales y potencias de 10
En este tema profundizamos en las operaciones con números decimales, el uso de potencias de 10, la notación científica y la relación entre decimales y fracciones.
Repaso: operaciones con decimales
Las cuatro operaciones con decimales ya son conocidas. Repasamos los puntos clave:
| Operación | Clave | Ejemplo |
|---|
| Suma/Resta | Alinear las comas | 12,35 + 7,8 = 20,15 |
| Multiplicación | Cifras decimales = suma de ambos | 2,4 × 1,5 = 3,60 |
| División | Hacer entero el divisor | 7,56 ÷ 0,3 = 75,6 ÷ 3 = 25,2 |
Potencias de 10
Las potencias de 10 son especialmente útiles porque nos permiten expresar números muy grandes o muy pequeños de forma compacta.
| Potencia | Valor | Nombre |
|---|
| 10⁰ | 1 | Uno |
| 10¹ | 10 | Diez |
| 10² | 100 | Cien |
| 10³ | 1.000 | Mil |
| 10⁶ | 1.000.000 | Millón |
| 10⁹ | 1.000.000.000 | Mil millones |
| 10⁻¹ | 0,1 | Décima |
| 10⁻² | 0,01 | Centésima |
| 10⁻³ | 0,001 | Milésima |
📌 RecuerdaMultiplicar por 10ⁿ: la coma se desplaza n posiciones a la derecha.
Dividir por 10ⁿ: la coma se desplaza n posiciones a la izquierda.
Ejemplo: 3,45 × 10³ = 3.450 278 ÷ 10² = 2,78
Notación científica
La notación científica expresa un número como el producto de un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10:
🔢 FórmulaN = a × 10ⁿ donde 1 ≤ a < 10
📘 EjemploNúmeros grandes:
380.000 = 3,8 × 10⁵ 6.700.000 = 6,7 × 10⁶
Números pequeños:
0,0045 = 4,5 × 10⁻³ 0,000072 = 7,2 × 10⁻⁵
Operaciones en notación científica
📘 EjemploMultiplicación: (3 × 10⁴) × (2 × 10³) = 6 × 10⁷
División: (8 × 10⁶) ÷ (4 × 10²) = 2 × 10⁴
Suma: 3,5 × 10³ + 2,1 × 10³ = 5,6 × 10³
(Solo se pueden sumar si la potencia de 10 es la misma)
Error absoluto y error relativo
Cuando medimos o aproximamos, cometemos errores:
🔢 FórmulaError absoluto = |valor exacto − valor aproximado|
Error relativo = error absoluto / valor exacto
Se suele expresar como porcentaje: error relativo × 100
📘 EjemploEl valor exacto de π es 3,14159... Si usamos π ≈ 3,14:
Error absoluto = |3,14159 − 3,14| = 0,00159
Error relativo = 0,00159 / 3,14159 ≈ 0,000506 ≈ 0,051%
🌍 Aplicación en la vida realDistancias astronómicas:
La distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente 150.000.000 km = 1,5 × 10⁸ km.
La distancia a la estrella más cercana (Próxima Centauri) es de unos 4 × 10¹³ km.
¿Cuántas veces más lejos está Próxima Centauri que el Sol?
(4 × 10¹³) ÷ (1,5 × 10⁸) = 2,67 × 10⁵ ≈ 267.000 veces más lejos
✏️ Ejercicios1. Calcula sin calculadora:
a) 3,75 × 100 b) 0,048 × 10.000 c) 5.320 ÷ 1.000 d) 0,7 ÷ 100
2. Expresa en notación científica:
a) 45.000 b) 0,0032 c) 7.200.000 d) 0,000056 e) 123.000.000
3. Escribe como número decimal:
a) 3,2 × 10⁴ b) 7,5 × 10⁻³ c) 1,08 × 10⁶ d) 9,1 × 10⁻²
4. Calcula en notación científica:
a) (4 × 10³) × (3 × 10⁵) b) (9 × 10⁸) ÷ (3 × 10²) c) (2,5 × 10⁴) × (4 × 10⁻²)
5. Calcula: 3,45 + 0,78 × 2,5 − 1,2 ÷ 0,4
6. El diámetro de un glóbulo rojo es de 7 × 10⁻⁶ m. Exprésalo en milímetros.
7. La masa de un protón es 1,67 × 10⁻²⁷ kg. ¿Cuánto pesan 10¹² protones?
8. Redondea 15,3478 a: a) décimas b) centésimas c) milésimas. Calcula el error absoluto en cada caso.
9. Una bacteria mide 2 × 10⁻⁶ m. Si se colocan en fila 5.000 bacterias, ¿qué longitud total ocupan en milímetros?
10. La velocidad de la luz es 3 × 10⁸ m/s. ¿Cuánto tarda la luz en llegar del Sol a la Tierra (1,5 × 10¹¹ m)?
📋 Resumen de la lección- Multiplicar por 10ⁿ desplaza la coma n posiciones a la derecha; dividir, a la izquierda.
- Notación científica: N = a × 10ⁿ con 1 ≤ a < 10.
- Para multiplicar en notación científica: se multiplican las partes decimales y se suman los exponentes.
- Error absoluto = |valor exacto − aproximado|. Error relativo = error absoluto / valor exacto.
- La notación científica es esencial para trabajar con números muy grandes o muy pequeños.