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Ejemplos resueltos y ejercicios guiados - Fracciones

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Introducción

En esta lección practicamos las operaciones con fracciones mediante ejemplos resueltos paso a paso: suma, resta, producto, cociente, operaciones combinadas y problemas. Fíjate en cada paso y luego intenta los ejercicios guiados.

Explicación

Antes de empezar, recordemos los pasos que se aplican siempre:

Sumar o restar: 1) calcula el m.c.m. de los denominadores; 2) convierte cada fracción en otra equivalente con ese denominador; 3) suma o resta los numeradores y deja el denominador; 4) simplifica.
Multiplicar: multiplica los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Conviene simplificar antes de multiplicar si un numerador y un denominador tienen factores comunes.
Dividir: multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda (la inversa de 3/8 es 8/3).
Operaciones combinadas: paréntesis, después productos y cocientes, y por último sumas y restas.
Resultado final: siempre en forma irreducible. Si es impropia (numerador mayor que el denominador) puede escribirse también como número mixto: 23/20 = 1 + 3/20.

Errores frecuentes que debes evitar:

Sumar numeradores y denominadores: 1/2 + 1/3 no es 2/5, sino 3/6 + 2/6 = 5/6.
Olvidar invertir la segunda fracción al dividir.
Hacer la suma antes que el producto cuando no hay paréntesis.
Dejar el resultado sin simplificar: 6/8 debe darse como 3/4.

Cómo calcular el m.c.m.: descompón los denominadores en factores primos y toma los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Por ejemplo, 6 = 2 · 3 y 9 = 3², así que m.c.m.(6, 9) = 2 · 3² = 18. Si los denominadores son primos entre sí, el m.c.m. es su producto: m.c.m.(4, 5) = 20.

Simplificar antes de multiplicar: en 4/9 · 3/8, el 4 y el 8 tienen el factor 4 común, y el 3 y el 9 tienen el factor 3; simplificando queda 1/3 · 1/2 = 1/6, con números más pequeños.

Cómo comprobar el resultado: puedes pasar las fracciones a decimales con la calculadora y ver si el resultado coincide. Por ejemplo, 3/4 + 2/5 = 0,75 + 0,4 = 1,15, y 23/20 = 1,15.

Ejemplo

Ejemplo 1 (suma). 3/4 + 2/5.
m.c.m.(4, 5) = 20. 3/4 = 15/20 y 2/5 = 8/20.
15/20 + 8/20 = 23/20 (es irreducible).

Ejemplo 2 (resta). 7/6 − 4/9.
m.c.m.(6, 9) = 18. 7/6 = 21/18 y 4/9 = 8/18.
21/18 − 8/18 = 13/18.

Ejemplo 3 (producto y cociente). 4/9 · 3/8 = 12/72 = 1/6. Y 5/6 : 10/3 = 5/6 · 3/10 = 15/60 = 1/4.

Ejemplo 4 (combinada). 2/3 − 1/3 · (1/2 + 1/4).
Paréntesis: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4.
Producto: 1/3 · 3/4 = 3/12 = 1/4.
Resta: 2/3 − 1/4 = 8/12 − 3/12 = 5/12.

Ejemplo 5 (problema). Un depósito de 120 litros está lleno en sus 3/4 partes. ¿Cuántos litros faltan para llenarlo?
Contiene 3/4 de 120 = 120 : 4 · 3 = 90 L. Faltan 120 − 90 = 30 L (es decir, 1/4 del depósito).

Ejercicios

Calcula 5/6 − 3/4.

Calcula (1/2 + 1/4) : 3/8.

Material adicional

Expresiones algebraicas y polinomios

Las expresiones algebraicas son combinaciones de números, letras y operaciones. En 2.º de ESO trabajamos con polinomios: expresiones formadas por la suma de varios monomios.

Monomios: repaso y operaciones

Un monomio está formado por un coeficiente (número) y una parte literal (letras con exponentes naturales).

Monomio	Coeficiente	Parte literal	Grado
5x³	5	x³	3
−3x²y	−3	x²y	3
7	7	—	0
−xy²z	−1	xy²z	4

Operaciones con monomios

Operación	Regla	Ejemplo
Suma/Resta	Solo monomios semejantes (misma parte literal)	3x² + 5x² = 8x²
Multiplicación	Se multiplican coeficientes y se suman exponentes	2x³ × 4x² = 8x⁵
División	Se dividen coeficientes y se restan exponentes	12x⁵ ÷ 3x² = 4x³

Polinomios

Un polinomio es la suma de varios monomios. Se escriben ordenados de mayor a menor grado.

📘 Ejemplo

P(x) = 3x⁴ − 2x³ + 5x² − x + 7

Grado del polinomio: 4 (el mayor exponente de x)
Término independiente: 7 (el que no tiene x)
Coeficiente principal: 3 (coeficiente del término de mayor grado)

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios: se agrupan y suman los monomios semejantes.

📘 Ejemplo

P(x) = 3x² − 2x + 5 Q(x) = x² + 4x − 3

P(x) + Q(x) = (3x² + x²) + (−2x + 4x) + (5 − 3)
= 4x² + 2x + 2

Resta de polinomios: se cambia el signo de todos los términos del segundo y se suma.

📘 Ejemplo

P(x) − Q(x) = (3x² − x²) + (−2x − 4x) + (5 + 3)
= 2x² − 6x + 8

Multiplicación de un polinomio por un monomio:

📘 Ejemplo

2x × (3x² − 4x + 1) = 6x³ − 8x² + 2x

Multiplicación de dos polinomios: se multiplica cada término del primero por todos los del segundo.

📘 Ejemplo

(x + 3)(2x − 5) =
x × 2x + x × (−5) + 3 × 2x + 3 × (−5) =
2x² − 5x + 6x − 15 =
2x² + x − 15

Identidades notables

Son productos que aparecen con mucha frecuencia y conviene memorizar:

🔢 Fórmula

Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Cuadrado de una diferencia: (a − b)² = a² − 2ab + b²

Suma por diferencia: (a + b)(a − b) = a² − b²

📘 Ejemplo

(x + 4)² = x² + 2·x·4 + 4² = x² + 8x + 16

(3x − 2)² = (3x)² − 2·3x·2 + 2² = 9x² − 12x + 4

(x + 5)(x − 5) = x² − 5² = x² − 25

Valor numérico de un polinomio

📘 Ejemplo

Si P(x) = 2x³ − 3x² + x − 5, calcula P(2):

P(2) = 2(2)³ − 3(2)² + 2 − 5
= 2(8) − 3(4) + 2 − 5
= 16 − 12 + 2 − 5 = 1

🌍 Aplicación en la vida real

El área de un cuadrado cuyo lado mide (x + 3) cm se calcula con la identidad notable:

A = (x + 3)² = x² + 6x + 9 cm²

Si x = 5 → A = 25 + 30 + 9 = 64 cm² (comprobación: 8² = 64 ✓)

✏️ Ejercicios

1. Indica el grado, el coeficiente principal y el término independiente de:
  a) 4x³ − 2x + 7 b) −x⁵ + 3x² − 1 c) 6x − 9

2. Dados P(x) = 3x² − 5x + 2 y Q(x) = x² + 2x − 4, calcula:
  a) P(x) + Q(x) b) P(x) − Q(x) c) 2·P(x) − Q(x)

3. Multiplica:
  a) 3x(2x² − 4x + 1) b) (x + 2)(x − 5) c) (2x − 1)(x + 3)

4. Desarrolla las identidades notables:
  a) (x + 6)² b) (2x − 3)² c) (x + 7)(x − 7) d) (3x + 1)²

5. Calcula el valor numérico de P(x) = x³ − 2x² + 3x − 1 para:
  a) x = 1 b) x = −1 c) x = 0 d) x = 2

6. Factoriza usando identidades notables:
  a) x² − 16 b) x² + 10x + 25 c) 4x² − 9 d) x² − 6x + 9

7. Simplifica: (x + 2)² − (x − 2)²

8. Un rectángulo tiene base (x + 4) cm y altura (x − 1) cm. Escribe su área como un polinomio.

9. Demuestra que (a + b)² ≠ a² + b² usando a = 2, b = 3.

10. Calcula el producto (x + 1)(x + 2)(x + 3) y exprésalo como un polinomio.

📋 Resumen de la lección

Un polinomio es la suma de monomios, ordenados de mayor a menor grado.
Se suman/restan agrupando monomios semejantes.
Para multiplicar polinomios, cada término del primero se multiplica por todos los del segundo.
Identidades notables: (a+b)² = a²+2ab+b², (a−b)² = a²−2ab+b², (a+b)(a−b) = a²−b².
El valor numérico se obtiene sustituyendo x por un número concreto.

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