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Operaciones avanzadas con fracciones
En 2.º de ESO trabajamos con fracciones de forma más avanzada: operaciones combinadas, fracciones con enteros negativos, potencias de fracciones y problemas más complejos.
Repaso: las cuatro operaciones con fracciones
| Operación | Procedimiento | Ejemplo |
|---|
| Suma/Resta (mismo denominador) | Se suman/restan numeradores | 5/7 + 2/7 = 7/7 = 1 |
| Suma/Resta (distinto denominador) | Se busca mcm de denominadores | 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 |
| Multiplicación | Numerador × numerador, denominador × denominador | 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6 |
| División | Se multiplica por la inversa | 3/5 ÷ 2/7 = 3/5 × 7/2 = 21/10 |
Fracciones con signo
Las fracciones pueden ser positivas o negativas. El signo se puede colocar en el numerador, en el denominador o delante de la fracción:
🔢 Fórmula−a/b = a/(−b) = −(a/b)
La regla de los signos se aplica igual que con los enteros:
📘 Ejemplo(−2/3) × (−5/4) = +10/12 = 5/6 (signos iguales → positivo)
(−3/5) × (2/7) = −6/35 (signos distintos → negativo)
(−1/2) ÷ (−3/4) = (−1/2) × (−4/3) = 4/6 = 2/3 (signos iguales → positivo)
Operaciones combinadas con fracciones
Se sigue la misma jerarquía de operaciones que con los enteros: paréntesis, potencias, multiplicaciones/divisiones, sumas/restas.
📘 EjemploCalcula: 1/2 + 3/4 × 2/3 − 1/6
Paso 1: Multiplicación → 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2
Paso 2: Sumas y restas → 1/2 + 1/2 − 1/6
mcm(2, 6) = 6 → 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6
📘 EjemploCalcula: (2/3 − 1/4) × (1/2 + 3/5)
Primer paréntesis: mcm(3,4) = 12 → 8/12 − 3/12 = 5/12
Segundo paréntesis: mcm(2,5) = 10 → 5/10 + 6/10 = 11/10
Multiplicación: 5/12 × 11/10 = 55/120 = 11/24
Potencias de fracciones
🔢 Fórmula(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ
📘 Ejemplo(2/3)³ = 2³/3³ = 8/27
(−1/2)⁴ = (−1)⁴ / 2⁴ = 1/16 = 1/16 (exponente par → positivo)
(3/5)⁰ = 1 (cualquier número distinto de cero elevado a 0 es 1)
Fracción generatriz de decimales periódicos
En 2.º de ESO se profundiza en la conversión de decimales periódicos a fracciones:
🔢 FórmulaPeriódico puro (0,abab...): Numerador = período; Denominador = tantos nueves como cifras tiene el período.
Periódico mixto (0,XYabab...): Numerador = todo sin coma − parte no periódica; Denominador = tantos nueves como cifras del período seguidos de tantos ceros como cifras de la parte decimal no periódica.
📘 Ejemplo0,7̂ (periódico puro): 7/9
0,27̂ (periódico puro): 27/99 = 3/11
0,16̂ (periódico mixto):
Numerador: 16 − 1 = 15
Denominador: 90 (un nueve por la cifra del período y un cero por la cifra no periódica)
0,16̂ = 15/90 = 1/6
2,3̂ (periódico puro con parte entera):
2,3̂ = 2 + 3/9 = 2 + 1/3 = 6/3 + 1/3 = 7/3
🌍 Aplicación en la vida realUna receta para 6 personas necesita 3/4 de litro de leche. Si se quiere preparar para 10 personas, ¿cuánta leche se necesita?
Para 1 persona: (3/4) ÷ 6 = 3/4 × 1/6 = 3/24 = 1/8 litro
Para 10 personas: 1/8 × 10 = 10/8 = 5/4 = 1,25 litros
✏️ Ejercicios1. Calcula y simplifica:
a) (−3/4) + (5/6) b) (−2/3) − (−1/2) c) (7/8) − (5/6) + (1/4)
2. Calcula y simplifica:
a) (−2/5) × (10/3) b) (−3/7) ÷ (9/14) c) (4/9) × (−3/8) × (−6/5)
3. Calcula respetando la jerarquía:
a) 2/3 + 1/2 × 4/5 b) (3/4 − 1/3) ÷ 5/6 c) 1 − 2/3 × (1/2 + 3/4)
4. Calcula las potencias:
a) (3/4)² b) (−2/3)³ c) (5/2)⁰ d) (−1/4)²
5. Convierte a fracción irreducible:
a) 0,5̂ b) 0,12̂ c) 1,6̂ d) 0,83̂
6. Calcula 2/3 de 450 €. ¿Cuánto queda?
7. Un tanque está lleno a 3/5. Se vacía 1/4 de lo que tiene. ¿Qué fracción queda?
8. Ordena de menor a mayor: 3/5, 2/3, 5/8, 7/12.
9. Un ciclista recorre 2/5 de una etapa por la mañana y 1/3 por la tarde. Si la etapa mide 120 km, ¿cuántos km le quedan?
10. Calcula: [(2/3)² − 1/9] × 3/4 + 1/2.
📋 Resumen de la lección- Las fracciones con signo siguen la misma regla de los signos que los enteros.
- En operaciones combinadas: paréntesis → potencias → multiplicación/división → suma/resta.
- Potencia de una fracción: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.
- Fracción generatriz: periódico puro → nueves; periódico mixto → nueves y ceros.
- Siempre simplificar el resultado a fracción irreducible.