Ejemplos resueltos y ejercicios guiados - Enteros

Ejemplos resueltos: números enteros

Los números enteros son los naturales, sus opuestos negativos y el cero: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Los usamos para expresar temperaturas bajo cero, plantas de un sótano, profundidades bajo el nivel del mar o deudas. En esta lección repasamos las reglas básicas y resolvemos paso a paso operaciones combinadas y problemas, tal como se trabajan en 2.º de ESO.

Recuerda las reglas

• Valor absoluto: es la distancia del número al cero, sin signo. |−7| = 7 y |7| = 7.
• Opuesto: el opuesto de a es −a. El opuesto de −5 es 5.
• Suma de enteros del mismo signo: se suman los valores absolutos y se deja el signo común. (−4) + (−6) = −10.
• Suma de enteros de distinto signo: se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto. (−9) + 4 = −5.
• Resta: restar un número es sumar su opuesto. 3 − (−8) = 3 + 8 = 11.
• Quitar paréntesis: un signo + delante deja los signos de dentro igual; un signo − delante los cambia todos. −(4 − 7) = −4 + 7.
• Regla de los signos (multiplicación y división): signos iguales dan resultado positivo; signos distintos, negativo. (−6) · (−2) = 12; 15 : (−3) = −5.
• Jerarquía de las operaciones: primero paréntesis y corchetes (de dentro hacia fuera), después potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) y, por último, sumas y restas.
• Potencias de base negativa: si el exponente es par, el resultado es positivo; si es impar, negativo. (−2)⁴ = 16 y (−2)³ = −8. Cuidado: −2⁴ = −(2⁴) = −16, porque el exponente solo afecta al 2.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: sumas y restas

Calcula (−7) + 12 − (−5) − 9.

Paso 1. Convertimos la resta de un negativo en suma: −(−5) = +5. Queda −7 + 12 + 5 − 9.

Paso 2. Sumamos por separado positivos y negativos: positivos 12 + 5 = 17; negativos −7 − 9 = −16.

Paso 3. 17 − 16 = 1.

Ejemplo 2: operaciones combinadas

Calcula −3 · (4 − 9) + 20 : (−4).

Paso 1. Paréntesis: 4 − 9 = −5. Queda −3 · (−5) + 20 : (−4).

Paso 2. Multiplicaciones y divisiones: −3 · (−5) = 15 (signos iguales, positivo); 20 : (−4) = −5 (signos distintos, negativo).

Paso 3. Suma: 15 + (−5) = 10.

Error típico: hacer las operaciones de izquierda a derecha sin respetar la jerarquía. Si se suma antes de dividir, el resultado sale mal.

Ejemplo 3: paréntesis y corchetes

Calcula [8 − (−2) · 3] − 2 · (−6 + 1).

Paso 1. Dentro del corchete, primero la multiplicación: (−2) · 3 = −6. Entonces 8 − (−6) = 8 + 6 = 14.

Paso 2. Segundo paréntesis: −6 + 1 = −5.

Paso 3. 14 − 2 · (−5) = 14 − (−10) = 14 + 10 = 24.

Ejemplo 4: potencias de enteros

Calcula: a) (−2)⁴   b) −2⁴   c) (−3)³   d) (−5)² · (−5)³

a) (−2)⁴ = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16 (exponente par: positivo).

b) −2⁴ = −(2 · 2 · 2 · 2) = −16 (el signo menos no está dentro de la potencia).

c) (−3)³ = (−3) · (−3) · (−3) = −27 (exponente impar: negativo).

d) Producto de potencias de la misma base: se suman los exponentes. (−5)² · (−5)³ = (−5)⁵ = −3125.

Ejemplo 5: potencias y raíces en una operación combinada

Calcula (−4)² − 3 · (−2)³ + √49.

Paso 1. Potencias y raíces: (−4)² = 16; (−2)³ = −8; √49 = 7.

Paso 2. Multiplicación: 3 · (−8) = −24. Queda 16 − (−24) + 7.

Paso 3. 16 + 24 + 7 = 47.

Ejemplo 6: problema

A las 6 de la mañana el termómetro marca −4 °C. La temperatura sube 3 °C cada hora durante 5 horas y, por la tarde, baja 7 °C. ¿Qué temperatura marca al final?

Planteamiento: −4 + 5 · 3 − 7.

Cálculo: 5 · 3 = 15; −4 + 15 = 11; 11 − 7 = 4.

Solución: el termómetro marca 4 °C.

Ejercicio guiado

Calcula 12 − 3 · [5 − (−1)] : (−2) siguiendo estos pasos:

1. Resuelve el corchete: 5 − (−1) = 5 + 1 = 6.
2. Haz la multiplicación y la división de izquierda a derecha: 3 · 6 = 18; 18 : (−2) = −9.
3. Ten en cuenta el signo menos que hay delante: 12 − (−9) = 12 + 9 = 21.

Resultado: 21. Comprueba que, si te saltas la jerarquía y restas primero (12 − 3 = 9), obtienes un resultado distinto y erróneo.

Ejercicios

Resumen

• Restar un entero es sumar su opuesto.
• Producto y cociente: signos iguales, resultado positivo; signos distintos, negativo.
• Orden: paréntesis y corchetes, potencias y raíces, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas.
• Base negativa con exponente par da positivo; con exponente impar, negativo. No confundas (−2)⁴ con −2⁴.