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Operaciones avanzadas con números enteros
En 2.º de ESO profundizamos en las operaciones con números enteros (ℤ). Ya conocemos las operaciones básicas; ahora trabajaremos con potencias, raíces, operaciones combinadas más complejas y la jerarquía de operaciones de forma rigurosa.
Repaso: operaciones básicas con enteros
Recordamos las reglas fundamentales para operar con números enteros:
| Operación | Regla | Ejemplo |
|---|
| Suma (mismo signo) | Se suman valores absolutos y se mantiene el signo | (−5) + (−3) = −8 |
| Suma (distinto signo) | Se restan valores absolutos y se pone el signo del mayor | (+7) + (−4) = +3 |
| Resta | Se suma el opuesto: a − b = a + (−b) | (+3) − (+8) = −5 |
| Multiplicación/División | Iguales signos → +; distintos signos → − | (−4) × (−6) = +24 |
Potencias de números enteros
La potencia aⁿ es el resultado de multiplicar la base a por sí misma n veces (n es el exponente).
🔢 Fórmulaaⁿ = a × a × a × ... × a (n veces)
⚠️ ImportanteSigno de una potencia con base negativa:
• Si el exponente es par → el resultado es positivo.
• Si el exponente es impar → el resultado es negativo.
Ejemplo: (−2)⁴ = +16 (−2)³ = −8
Cuidado: (−3)² = 9 pero −3² = −9
En −3², el exponente solo afecta al 3, no al signo.
Propiedades de las potencias
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|
| Producto de potencias (misma base) | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Cociente de potencias (misma base) | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625 |
| Potencia de una potencia | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Potencia de un producto | (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ | (2 × 3)² = 2² × 3² = 36 |
| Potencia de un cociente | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (4/5)² = 16/25 |
| Exponente 0 | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
| Exponente 1 | a¹ = a | 9¹ = 9 |
📘 EjemploSimplifica: 2⁵ × 2³ ÷ 2⁴
= 2⁵⁺³⁻⁴ = 2⁴ = 16
Raíces cuadradas
La raíz cuadrada de un número a (con a ≥ 0) es el número positivo b tal que b² = a.
🔢 Fórmula√a = b ⟺ b² = a (b ≥ 0)
| Raíz | Resultado | Raíz | Resultado |
|---|
| √1 | 1 | √49 | 7 |
| √4 | 2 | √64 | 8 |
| √9 | 3 | √81 | 9 |
| √16 | 4 | √100 | 10 |
| √25 | 5 | √121 | 11 |
| √36 | 6 | √144 | 12 |
Cuando la raíz no es exacta, se puede calcular de forma aproximada:
📘 Ejemplo√50 está entre √49 = 7 y √64 = 8, así que √50 ≈ 7,07.
Comprobación: 7,07² = 49,9849 ≈ 50 ✓
Operaciones combinadas con jerarquía completa
En 2.º de ESO, las expresiones combinadas incluyen potencias y raíces. La jerarquía es:
- Paréntesis, corchetes, llaves (de dentro hacia fuera).
- Potencias y raíces.
- Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
- Sumas y restas (de izquierda a derecha).
📘 EjemploCalcula: 3 × (−2)³ + √16 − 5 × 2
Paso 1: Potencias y raíces → (−2)³ = −8, √16 = 4
Paso 2: Multiplicaciones → 3 × (−8) = −24, 5 × 2 = 10
Paso 3: Sumas y restas → −24 + 4 − 10 = −30
📘 EjemploCalcula: [5 − (−3)²] × 2 + √(4 + 5)
Paso 1: Dentro del paréntesis → (−3)² = 9
Paso 2: Dentro del corchete → 5 − 9 = −4
Paso 3: Dentro de la raíz → 4 + 5 = 9 → √9 = 3
Paso 4: Multiplicación → (−4) × 2 = −8
Paso 5: Suma → −8 + 3 = −5
🌍 Aplicación en la vida realLa fórmula para calcular la caída libre de un objeto es: h = ½ × g × t², donde g = 10 m/s² (gravedad aproximada) y t es el tiempo en segundos.
¿Qué altura recorre un objeto en 3 segundos?
h = ½ × 10 × 3² = ½ × 10 × 9 = 5 × 9 = 45 m
¿Y en 5 segundos?
h = ½ × 10 × 5² = 5 × 25 = 125 m
✏️ Ejercicios1. Calcula sin calculadora:
a) (−3)⁴ b) (−2)⁵ c) −5² d) (−1)¹⁰⁰ e) (−1)⁹⁹
2. Simplifica usando las propiedades de las potencias:
a) 3⁴ × 3² b) 5⁷ ÷ 5³ c) (2³)² d) (4 × 3)² e) 7⁰ + 2¹
3. Calcula las raíces:
a) √81 b) √144 c) √196 d) √225 e) Aproxima √70
4. Calcula respetando la jerarquía de operaciones:
a) 2³ + 3² − √25
b) (−5)² − 4 × 3 + √36
c) 4 × (3² − 5) + (−2)³
5. Calcula:
a) [3 + (−2)²] × (5 − 7)
b) (−3)² × 2 − √(100 − 64)
c) [(−2)³ + 10] ÷ (√4) − 1
6. Indica verdadero o falso y justifica:
a) (−3)² = −9 b) (−1)⁵⁰ = 1 c) √(9 + 16) = √9 + √16
7. Un cuadrado tiene un área de 169 cm². ¿Cuánto mide su lado?
8. Escribe como potencia de una sola base: (2³ × 2⁴) ÷ (2² × 2)
9. Calcula el valor de: (−1)¹ + (−1)² + (−1)³ + (−1)⁴ + ... + (−1)¹⁰
10. La velocidad del sonido es aproximadamente 340 m/s. Expresa esta cantidad en km/h usando operaciones con enteros.
📋 Resumen de la lección- Las potencias con base negativa: exponente par → resultado positivo; exponente impar → resultado negativo.
- Propiedades: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ, a⁰ = 1.
- √a = b significa que b² = a (con b ≥ 0).
- Jerarquía: paréntesis → potencias/raíces → multiplicaciones/divisiones → sumas/restas.
- Cuidado: (−a)² ≠ −a². El paréntesis cambia completamente el resultado.