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Introducción
Si sabemos que un cuadrado tiene 25 cm² de área, ¿cuánto mide su lado? Necesitamos un número que, multiplicado por sí mismo, dé 25: ese número es 5. Esta operación, que «deshace» el cuadrado de un número, se llama raíz cuadrada.
Explicación
La raíz cuadrada de un número a es otro número b que, elevado al cuadrado, da a. Se escribe con el símbolo √, llamado radical. El número de dentro se llama radicando.
√a = b porque b² = a. Por ejemplo, √49 = 7 porque 7² = 49.
Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa: 7² = 49 y (−7)² = 49. Cuando escribimos √49 nos referimos a la positiva, 7.
Los números negativos no tienen raíz cuadrada entre los números que conocemos, porque ningún número multiplicado por sí mismo da un resultado negativo.
Cuadrados perfectos. Son los números cuya raíz cuadrada es un número natural exacto: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144… Conviene saberse de memoria los cuadrados de los números del 1 al 15.
Raíz cuadrada entera y resto. Si el número no es un cuadrado perfecto, su raíz no es exacta. Entonces buscamos la raíz entera: el mayor número natural cuyo cuadrado no supera al radicando. El resto es la diferencia entre el radicando y ese cuadrado:
Radicando = (raíz entera)² + resto.
Ejemplo: 30 está entre 25 = 5² y 36 = 6². La raíz entera de 30 es 5 y el resto es 30 − 25 = 5.
Estimar una raíz. Para saber entre qué dos números está una raíz no exacta, buscamos los dos cuadrados perfectos más cercanos: como 64 < 70 < 81, sabemos que 8 < √70 < 9. Con calculadora, √70 ≈ 8,37.
Relación con el cuadrado. Elevar al cuadrado y hacer la raíz cuadrada son operaciones inversas: (√16)² = 16 y √(6²) = 6. Por eso, para comprobar una raíz basta con elevar el resultado al cuadrado y ver si sale el radicando.
Cuidado: la raíz de una suma no es la suma de las raíces. √(9 + 16) = √25 = 5, pero √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
Ejemplo
Ejemplo 1. Calcula √225. Buscamos un número que al cuadrado dé 225. Probamos con 15: 15 × 15 = 225. Por tanto, √225 = 15.
Ejemplo 2. Halla la raíz entera y el resto de 90. Los cuadrados cercanos son 9² = 81 y 10² = 100. Como 81 ≤ 90 < 100, la raíz entera es 9. El resto es 90 − 81 = 9. Comprobación: 9² + 9 = 81 + 9 = 90.
Ejercicios
¿Cuál es la raíz cuadrada entera de 50 y cuál es su resto?
Un cuadrado tiene un área de 144 cm². ¿Cuánto mide su lado?
Material adicional
Geometría: ángulos, triángulos y cuadriláteros
La geometría estudia las formas, sus propiedades y las relaciones entre ellas. En esta lección aprenderemos sobre ángulos, triángulos y cuadriláteros, los polígonos más importantes.
Ángulos
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas (lados) que parten de un mismo punto (vértice). Se mide en grados (°).
Clasificación de ángulos según su amplitud
Tipo
Medida
Ejemplo
Agudo
0° < α < 90°
45°, 60°, 30°
Recto
α = 90°
Esquina de un libro
Obtuso
90° < α < 180°
120°, 150°
Llano
α = 180°
Media vuelta
Completo
α = 360°
Vuelta entera
Relaciones entre ángulos
Relación
Definición
Ejemplo
Complementarios
Suman 90°
30° y 60°
Suplementarios
Suman 180°
45° y 135°
Opuestos por el vértice
Son iguales
Al cruzar dos rectas
📘 Ejemplo
¿Cuál es el complementario de 35°? 90° − 35° = 55°
¿Cuál es el suplementario de 110°? 180° − 110° = 70°
Triángulos
Un triángulo es un polígono de tres lados. La suma de sus ángulos interiores es siempre 180°.
🔢 Fórmula
α + β + γ = 180°
Clasificación de triángulos
Según sus lados
Característica
Equilátero
Los 3 lados iguales (y los 3 ángulos = 60°)
Isósceles
2 lados iguales (y 2 ángulos iguales)
Escaleno
Los 3 lados diferentes
Según sus ángulos
Característica
Acutángulo
Los 3 ángulos son agudos (< 90°)
Rectángulo
Tiene un ángulo recto (= 90°)
Obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso (> 90°)
📘 Ejemplo
Un triángulo tiene ángulos de 40° y 75°. ¿Cuánto mide el tercer ángulo? ¿De qué tipo es?
Tercer ángulo = 180° − 40° − 75° = 65° Los tres ángulos son agudos → es acutángulo. Los tres lados son distintos → es escaleno.
Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. La suma de sus ángulos interiores es siempre 360°.
Tipos de cuadriláteros
Tipo
Características principales
Cuadrado
4 lados iguales y 4 ángulos rectos
Rectángulo
Lados opuestos iguales y 4 ángulos rectos
Rombo
4 lados iguales, ángulos opuestos iguales
Romboide (paralelogramo)
Lados opuestos paralelos e iguales
Trapecio
Solo dos lados paralelos (bases)
Trapezoide
Ningún lado paralelo
Propiedades del paralelogramo
Los lados opuestos son paralelos e iguales.
Los ángulos opuestos son iguales.
Los ángulos consecutivos son suplementarios (suman 180°).
Las diagonales se cortan en su punto medio.
📘 Ejemplo
En un paralelogramo, un ángulo mide 70°. ¿Cuánto miden los demás?
El ángulo opuesto también mide 70°. Los ángulos consecutivos son suplementarios: 180° − 70° = 110°.
Los cuatro ángulos son: 70°, 110°, 70°, 110°. Comprobación: 70 + 110 + 70 + 110 = 360° ✓
🌍 Aplicación en la vida real
Un arquitecto diseña el tejado de una casa con forma de triángulo isósceles. La base mide 6 m y los dos lados iguales miden 5 m cada uno. El ángulo del vértice superior es de 74°. ¿Cuánto miden los ángulos de la base?
Solución: Como es isósceles, los dos ángulos de la base son iguales. α + α + 74° = 180° 2α = 106° α = 53° Los ángulos de la base miden 53° cada uno.
✏️ Ejercicios
1. Clasifica estos ángulos: 45°, 90°, 135°, 180°, 15°, 100°.
2. Calcula el complementario de: a) 25° b) 48° c) 72°
3. Calcula el suplementario de: a) 60° b) 95° c) 145°
4. Un triángulo tiene ángulos de 55° y 80°. Calcula el tercer ángulo y clasifica el triángulo según sus ángulos.
5. ¿Puede existir un triángulo con ángulos de 90°, 50° y 50°? ¿Por qué?
6. En un rombo, un ángulo mide 60°. ¿Cuánto miden los otros tres ángulos?
7. Clasifica estos triángulos según sus lados: a) 5, 5, 5 cm b) 3, 4, 5 cm c) 6, 6, 4 cm
8. Dibuja un cuadrado, un rectángulo, un rombo y un trapecio. Indica sus ángulos.
9. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide 37°. ¿Cuánto mide el otro ángulo agudo?
10. Un campo tiene forma de trapecio. Las bases miden 40 m y 25 m, y los ángulos junto a la base mayor miden 80° y 65°. Calcula los otros dos ángulos.
📋 Resumen de la lección
Los ángulos se clasifican en agudos (< 90°), rectos (90°), obtusos (> 90°) y llanos (180°).