Estadística y probabilidad
La estadística es la rama de las matemáticas que se encarga de recoger, organizar, representar y analizar datos. La probabilidad estudia la posibilidad de que ocurran determinados sucesos.
Conceptos básicos de estadística
Población: el conjunto total de individuos o elementos que se estudian.
Muestra: una parte representativa de la población.
Variable estadística: la característica que se estudia. Puede ser cualitativa (color de ojos, deporte favorito) o cuantitativa (edad, nota, altura).
Tablas de frecuencias
Para organizar los datos, construimos una tabla de frecuencias:
| Concepto | Significado | Símbolo |
|---|
| Frecuencia absoluta | Número de veces que aparece un dato | fᵢ |
| Frecuencia relativa | Proporción respecto al total: fᵢ / N | hᵢ |
| Frecuencia acumulada | Suma de frecuencias hasta ese valor | Fᵢ |
📘 EjemploNotas de 20 alumnos en un examen: 5, 7, 6, 8, 5, 7, 9, 6, 7, 5, 8, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 6, 7, 9.
| Nota | Frec. absoluta (fᵢ) | Frec. relativa (hᵢ) | Frec. acumulada (Fᵢ) |
|---|
| 5 | 4 | 4/20 = 0,20 | 4 |
| 6 | 5 | 5/20 = 0,25 | 9 |
| 7 | 6 | 6/20 = 0,30 | 15 |
| 8 | 3 | 3/20 = 0,15 | 18 |
| 9 | 2 | 2/20 = 0,10 | 20 |
| Total | 20 | 1,00 | — |
Gráficos estadísticos
Los principales tipos de gráficos son:
- Diagrama de barras: barras verticales u horizontales cuya altura representa la frecuencia.
- Diagrama de sectores (circular): el círculo se divide en sectores proporcionales a cada frecuencia. Ángulo = hᵢ × 360°.
- Polígono de frecuencias: se unen con segmentos los puntos medios de las barras.
- Histograma: como el de barras pero para datos agrupados en intervalos (las barras se tocan).
Medidas de tendencia central
🔢 FórmulaMedia aritmética (x̄): suma de todos los datos dividida entre el número de datos.
x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
Mediana (Me): valor central al ordenar los datos. Si n es par, es la media de los dos centrales.
Moda (Mo): el valor que más se repite.
📘 EjemploCon los datos del ejemplo anterior (notas): 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9
Media: (4×5 + 5×6 + 6×7 + 3×8 + 2×9) / 20 = (20 + 30 + 42 + 24 + 18) / 20 = 134/20 = 6,7
Mediana: hay 20 datos → los centrales son el 10.º (= 7) y el 11.º (= 7) → Me = (7 + 7)/2 = 7
Moda: el valor que más se repite es el 7 (aparece 6 veces) → Mo = 7
Medida de dispersión: el rango
🔢 FórmulaRango = valor máximo − valor mínimo
📘 EjemploRango = 9 − 5 = 4
Indica que las notas varían en un intervalo de 4 puntos.
Introducción a la probabilidad
La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un suceso. Se calcula con la regla de Laplace (cuando todos los resultados son igualmente posibles):
🔢 FórmulaP(suceso) = número de casos favorables / número de casos posibles
La probabilidad siempre está entre 0 (imposible) y 1 (seguro).
| Tipo de suceso | Probabilidad | Ejemplo |
|---|
| Imposible | P = 0 | Sacar un 7 con un dado de 6 caras |
| Poco probable | 0 < P < 0,5 | Sacar un 6 con un dado: P = 1/6 |
| Equiprobable | P = 0,5 | Sacar cara al lanzar una moneda |
| Muy probable | 0,5 < P < 1 | Sacar un número distinto de 6: P = 5/6 |
| Seguro | P = 1 | Sacar un número del 1 al 6 con un dado |
📘 EjemploExperimento: lanzar un dado de 6 caras.
P(sacar un 3) = 1/6 ≈ 0,167 (16,7%)
P(sacar par) = 3/6 = 1/2 = 0,5 (50%)
P(sacar mayor que 4) = 2/6 = 1/3 ≈ 0,333 (33,3%)
P(sacar menor que 7) = 6/6 = 1 (100% → seguro)
📘 EjemploExperimento: en una bolsa hay 3 bolas rojas, 5 azules y 2 verdes. Sacamos una al azar.
Total de bolas = 3 + 5 + 2 = 10
P(roja) = 3/10 = 0,3 (30%)
P(azul) = 5/10 = 1/2 = 0,5 (50%)
P(verde) = 2/10 = 1/5 = 0,2 (20%)
P(no verde) = 1 − 2/10 = 8/10 = 4/5 = 0,8 (80%)
🌍 Aplicación en la vida realSe ha preguntado a 40 alumnos cuántas horas duermen los fines de semana. Los resultados son:
7, 8, 9, 8, 10, 7, 9, 8, 8, 9, 10, 7, 8, 9, 8, 7, 9, 10, 8, 9,
8, 7, 9, 8, 10, 9, 8, 7, 8, 9, 7, 10, 8, 9, 8, 7, 9, 10, 8, 9.
Media: (8×7 + 14×8 + 12×9 + 6×10) / 40 = (56 + 112 + 108 + 60) / 40 = 336/40 = 8,4 horas
Mediana: con 40 datos ordenados, los centrales son el 20.º (= 8) y el 21.º (= 9) → Me = (8+9)/2 = 8,5 horas
Moda: Mo = 8 horas (aparece 14 veces)
Rango: 10 − 7 = 3 horas
✏️ Ejercicios1. Clasifica como variable cualitativa o cuantitativa: a) color favorito b) número de hermanos c) marca de móvil d) altura en cm.
2. Construye una tabla de frecuencias absolutas y relativas para estos datos (deporte favorito de 25 alumnos): fútbol (8), baloncesto (6), natación (4), tenis (3), atletismo (2), otros (2).
3. Calcula la media, la mediana y la moda de: 4, 7, 5, 8, 6, 7, 5, 9, 7, 6.
4. Las edades de un grupo son: 12, 13, 12, 14, 13, 12, 15, 13, 12, 14. Calcula la media, la mediana, la moda y el rango.
5. ¿Qué ángulo corresponde a cada sector en un diagrama circular si las frecuencias relativas son: 0,30; 0,25; 0,20; 0,15; 0,10?
6. Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de: a) sacar un 5 b) sacar un número impar c) sacar un número mayor que 2.
7. En una bolsa hay 4 bolas rojas, 3 azules y 3 blancas. Calcula la probabilidad de sacar: a) una bola roja b) una bola que no sea blanca c) una bola amarilla.
8. Se lanza una moneda dos veces. Escribe todos los resultados posibles y calcula P(dos caras).
9. La media de 5 números es 8. Si cuatro de ellos son 6, 7, 9 y 10, ¿cuál es el quinto?
10. En una clase de 30 alumnos, 18 aprueban un examen. a) ¿Cuál es la frecuencia relativa de aprobados? b) Si escogemos un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado?
📋 Resumen de la lección- La estadística recoge, organiza y analiza datos.
- La tabla de frecuencias muestra frecuencia absoluta, relativa y acumulada.
- Media = suma de datos / n. Mediana = valor central. Moda = valor más repetido.
- Rango = máximo − mínimo.
- Probabilidad (Laplace) = casos favorables / casos posibles.
- La probabilidad siempre está entre 0 (imposible) y 1 (seguro).