Proporcionalidad
Dos magnitudes son proporcionales cuando varían de forma que mantienen una relación constante. La proporcionalidad es una de las herramientas más útiles de las matemáticas porque aparece constantemente en la vida cotidiana: precios, velocidades, recetas de cocina, escalas de mapas, etc.
Razón y proporción
La razón entre dos cantidades a y b es el cociente a/b.
Una proporción es la igualdad de dos razones: a/b = c/d.
🔢 FórmulaEn una proporción a/b = c/d se cumple la propiedad fundamental:
a × d = b × c (productos cruzados iguales)
📘 Ejemplo¿Forman proporción 3/4 y 9/12?
Comprobamos: 3 × 12 = 36 4 × 9 = 36
Los productos cruzados son iguales → Sí forman proporción.
Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Su cociente es constante.
🔢 Fórmulaa₁/b₁ = a₂/b₂ = k (constante de proporcionalidad)
📘 EjemploSi 3 kg de manzanas cuestan 4,50 €, ¿cuánto cuestan 5 kg?
Método 1: Regla de tres
3 kg → 4,50 €
5 kg → x €
x = (5 × 4,50) / 3 = 22,50 / 3 = 7,50 €
Método 2: Constante de proporcionalidad
k = 4,50 / 3 = 1,50 €/kg
5 × 1,50 = 7,50 €
Porcentajes
Un porcentaje es una proporción que se expresa como fracción de 100. El símbolo es %.
🔢 FórmulaPorcentaje de una cantidad: P% de C = (P/100) × C
📘 EjemploCalcular el 25% de 80:
(25/100) × 80 = 0,25 × 80 = 20
¿Qué porcentaje es 15 de 60?
(15/60) × 100 = 0,25 × 100 = 25%
Aumentar 120 € un 15%:
Aumento = 120 × 0,15 = 18 €
Precio final = 120 + 18 = 138 €
O directamente: 120 × 1,15 = 138 €
Escalas
La escala de un plano o mapa es la relación entre las distancias en el dibujo y las distancias reales.
🔢 FórmulaEscala = distancia en el plano / distancia real
📘 EjemploUn mapa tiene escala 1:50.000. Dos ciudades en el mapa están a 4 cm. ¿Cuál es la distancia real?
Distancia real = 4 × 50.000 = 200.000 cm = 2.000 m = 2 km
🌍 Aplicación en la vida realProblema: En una tienda hay una oferta del 20% de descuento. Un pantalón marca 45 € de precio original. Además, hay un IVA del 21%. ¿Cuánto se paga finalmente?
Paso 1: Descuento → 45 × 0,20 = 9 € → Precio con descuento = 45 − 9 = 36 €
Paso 2: IVA → 36 × 0,21 = 7,56 €
Precio final: 36 + 7,56 = 43,56 €
✏️ Ejercicios1. Comprueba si forman proporción: a) 2/5 y 6/15 b) 3/7 y 9/14
2. Si 4 rotuladores cuestan 6 €, ¿cuánto costarán 10 rotuladores?
3. Un coche consume 6 litros cada 100 km. ¿Cuántos litros necesita para 350 km?
4. Calcula: a) el 30% de 150 b) el 12% de 250 c) el 75% de 400
5. ¿Qué porcentaje representa 45 de 180?
6. Un artículo de 80 € se rebaja un 25%. ¿Cuál es el precio rebajado?
7. Después de una subida del 10%, un producto cuesta 55 €. ¿Cuál era el precio original?
8. En un mapa a escala 1:25.000, la distancia entre dos puntos es 6,4 cm. ¿Cuál es la distancia real en metros?
9. Para hacer 12 magdalenas se necesitan 250 g de harina. ¿Cuánta harina se necesita para 30 magdalenas?
10. Un televisor cuesta 499 €. Tiene un descuento del 15% y luego hay que añadir un 21% de IVA. ¿Cuál es el precio final?
📋 Resumen de la lección- Una proporción es la igualdad de dos razones: a/b = c/d. Se cumple a × d = b × c.
- Dos magnitudes son directamente proporcionales si su cociente es constante.
- La regla de tres permite resolver problemas de proporcionalidad directa.
- Un porcentaje es una fracción de 100: P% de C = (P/100) × C.
- La escala relaciona las distancias en un plano con las distancias reales.