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Introducción
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. En esta lección aprenderás a calcular potencias cuya base es un número entero, positivo o negativo, a decidir el signo del resultado y a aplicar las propiedades de las potencias.
Explicación
En la potencia aⁿ, a es la base (el factor que se repite) y n es el exponente (cuántas veces se repite). Por ejemplo, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
El signo del resultado depende de la base y del exponente:
Base positiva: el resultado siempre es positivo. 3⁴ = 81.
Base negativa y exponente par: resultado positivo. (−2)⁴ = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = +16.
Base negativa y exponente impar: resultado negativo. (−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = −8.
¡Atención a los paréntesis! (−3)² = (−3) · (−3) = 9, pero −3² = −(3 · 3) = −9. Sin paréntesis, el exponente solo afecta al 3, no al signo.
Casos especiales: a¹ = a, y a⁰ = 1 para cualquier base distinta de 0. Por ejemplo, (−7)⁰ = 1.
Propiedades (con a y b enteros distintos de 0):
Producto de potencias de la misma base: se deja la base y se suman los exponentes. aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Cociente de potencias de la misma base: se deja la base y se restan los exponentes. aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (con m mayor o igual que n).
Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes. (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.
Potencia de un producto o de un cociente: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ y (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ.
No existe una propiedad para la suma: (2 + 3)² = 25, mientras que 2² + 3² = 13.
Ejemplo
Ejemplo 1. Calcula (−3)⁴ y −3⁴.
(−3)⁴: base negativa y exponente par → positivo: 3 · 3 · 3 · 3 = 81, así que (−3)⁴ = 81. En −3⁴ el exponente solo afecta al 3: −3⁴ = −81.
Ejemplo 2. Expresa como una sola potencia y calcula: (−2)⁵ · (−2)³ : (−2)⁶.
Expresa como una sola potencia y calcula: (−5)³ · (−5)² : (−5)⁴.
Material adicional
Proporcionalidad
Dos magnitudes son proporcionales cuando varían de forma que mantienen una relación constante. La proporcionalidad es una de las herramientas más útiles de las matemáticas porque aparece constantemente en la vida cotidiana: precios, velocidades, recetas de cocina, escalas de mapas, etc.
Razón y proporción
La razón entre dos cantidades a y b es el cociente a/b.
Una proporción es la igualdad de dos razones: a/b = c/d.
🔢 Fórmula
En una proporción a/b = c/d se cumple la propiedad fundamental:
a × d = b × c (productos cruzados iguales)
📘 Ejemplo
¿Forman proporción 3/4 y 9/12?
Comprobamos: 3 × 12 = 36 4 × 9 = 36 Los productos cruzados son iguales → Sí forman proporción.
Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Su cociente es constante.
🔢 Fórmula
a₁/b₁ = a₂/b₂ = k (constante de proporcionalidad)
📘 Ejemplo
Si 3 kg de manzanas cuestan 4,50 €, ¿cuánto cuestan 5 kg?
Método 1: Regla de tres 3 kg → 4,50 € 5 kg → x € x = (5 × 4,50) / 3 = 22,50 / 3 = 7,50 €
Método 2: Constante de proporcionalidad k = 4,50 / 3 = 1,50 €/kg 5 × 1,50 = 7,50 €
Porcentajes
Un porcentaje es una proporción que se expresa como fracción de 100. El símbolo es %.
🔢 Fórmula
Porcentaje de una cantidad: P% de C = (P/100) × C
📘 Ejemplo
Calcular el 25% de 80: (25/100) × 80 = 0,25 × 80 = 20
¿Qué porcentaje es 15 de 60? (15/60) × 100 = 0,25 × 100 = 25%
Aumentar 120 € un 15%: Aumento = 120 × 0,15 = 18 € Precio final = 120 + 18 = 138 € O directamente: 120 × 1,15 = 138 €
Escalas
La escala de un plano o mapa es la relación entre las distancias en el dibujo y las distancias reales.
🔢 Fórmula
Escala = distancia en el plano / distancia real
📘 Ejemplo
Un mapa tiene escala 1:50.000. Dos ciudades en el mapa están a 4 cm. ¿Cuál es la distancia real?
Distancia real = 4 × 50.000 = 200.000 cm = 2.000 m = 2 km
🌍 Aplicación en la vida real
Problema: En una tienda hay una oferta del 20% de descuento. Un pantalón marca 45 € de precio original. Además, hay un IVA del 21%. ¿Cuánto se paga finalmente?