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Iniciación al álgebra: expresiones y ecuaciones
El álgebra es la parte de las matemáticas que utiliza letras para representar números desconocidos o que pueden variar. Esto nos permite escribir relaciones generales y resolver problemas de forma sistemática.
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de números, letras (variables) y operaciones. Las letras representan valores que pueden cambiar.
| Expresión | Significado |
|---|
| 3x | El triple de un número x |
| x + 5 | Un número x más cinco |
| 2x − 3 | El doble de un número menos tres |
| x² | Un número al cuadrado |
| x/2 + 1 | La mitad de un número más uno |
Valor numérico de una expresión
El valor numérico se obtiene al sustituir las letras por números concretos y realizar las operaciones.
📘 EjemploCalcula el valor numérico de 3x² − 2x + 1 para x = 2:
3 × (2)² − 2 × (2) + 1
= 3 × 4 − 4 + 1
= 12 − 4 + 1
= 9
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica formada por un número (coeficiente), una o varias letras (parte literal) y exponentes naturales.
| Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado |
|---|
| 5x³ | 5 | x³ | 3 |
| −2xy | −2 | xy | 2 |
| 7 | 7 | — | 0 |
| x | 1 | x | 1 |
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Solo los monomios semejantes se pueden sumar o restar.
📘 EjemploSuma de monomios semejantes:
3x² + 5x² = 8x² (se suman los coeficientes)
Resta de monomios semejantes:
7ab − 2ab = 5ab
Multiplicación:
3x² × 2x³ = 6x⁵ (se multiplican coeficientes y se suman exponentes)
Ecuaciones de primer grado
Una ecuación es una igualdad que contiene una o más incógnitas (letras cuyo valor queremos encontrar). Resolver la ecuación es encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.
🔢 FórmulaRegla de la transposición:
• Lo que está sumando pasa al otro lado restando.
• Lo que está restando pasa al otro lado sumando.
• Lo que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo.
• Lo que está dividiendo pasa al otro lado multiplicando.
📘 EjemploResuelve: 3x + 5 = 20
Paso 1: Pasamos el 5 restando → 3x = 20 − 5 → 3x = 15
Paso 2: Pasamos el 3 dividiendo → x = 15/3 → x = 5
Comprobación: 3 × 5 + 5 = 15 + 5 = 20 ✓
📘 EjemploResuelve: 2(x − 3) = x + 4
Paso 1: Distribuimos → 2x − 6 = x + 4
Paso 2: Agrupamos las x a un lado → 2x − x = 4 + 6
Paso 3: Simplificamos → x = 10
Comprobación: 2(10 − 3) = 2 × 7 = 14 10 + 4 = 14 ✓
📘 EjemploResuelve: (x + 1)/3 = (2x − 5)/4
Paso 1: Multiplicamos en cruz → 4(x + 1) = 3(2x − 5)
Paso 2: Distribuimos → 4x + 4 = 6x − 15
Paso 3: Agrupamos → 4 + 15 = 6x − 4x → 19 = 2x
Paso 4: Despejamos → x = 19/2 = 9,5
Traducir problemas al álgebra
Una habilidad fundamental es convertir enunciados del lenguaje cotidiano en expresiones algebraicas o ecuaciones.
🌍 Aplicación en la vida realProblema: Pedro tiene el triple de edad que su hijo. Dentro de 10 años, la edad de Pedro será el doble que la de su hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?
Planteamiento:
Llamamos x a la edad del hijo → La edad de Pedro es 3x.
Dentro de 10 años: Pedro tendrá 3x + 10 y su hijo x + 10.
Ecuación: 3x + 10 = 2(x + 10)
Resolución:
3x + 10 = 2x + 20
3x − 2x = 20 − 10
x = 10
Respuesta: El hijo tiene 10 años y Pedro tiene 30 años.
Comprobación: dentro de 10 años → 40 = 2 × 20 ✓
✏️ Ejercicios1. Escribe como expresión algebraica:
a) El doble de un número más tres.
b) La mitad de un número menos siete.
c) El cuadrado de un número más el propio número.
2. Calcula el valor numérico de 2x² − 3x + 5 para: a) x = 1 b) x = −2 c) x = 0
3. Simplifica: a) 3x + 5x − 2x b) 4a² − a² + 2a² c) 7xy − 3xy + xy
4. Resuelve: a) 2x + 7 = 15 b) 5x − 3 = 2x + 9 c) 3(x + 2) = 21
5. Resuelve: a) 4(x − 1) = 2(x + 3) b) x/2 + 3 = 5 c) (2x + 1)/3 = 5
6. Resuelve: (x + 2)/4 − (x − 1)/3 = 1
7. Si al triple de un número le restamos 8, obtenemos 19. ¿Cuál es el número?
8. La suma de tres números consecutivos es 72. ¿Cuáles son esos números?
9. Ana tiene 5 años más que Luis. Si la suma de sus edades es 37, ¿cuántos años tiene cada uno?
10. Un rectángulo tiene un perímetro de 42 cm. Si el largo mide el doble que el ancho, ¿cuánto miden sus lados?
📋 Resumen de la lección- Las expresiones algebraicas combinan números, letras (variables) y operaciones.
- Un monomio tiene coeficiente, parte literal y grado. Solo los semejantes se suman/restan.
- Una ecuación es una igualdad con incógnitas; resolverla es encontrar el valor de la incógnita.
- Se resuelven transponiendo términos al otro lado de la igualdad cambiando la operación.
- Los problemas cotidianos se traducen al álgebra identificando la incógnita y planteando la ecuación.