En la vida diaria aparecen muchas cantidades que pueden estar «por encima» o «por debajo» de un punto de referencia: una temperatura de 5 grados bajo cero, un garaje en la planta −2, una cuenta bancaria con una deuda de 30 euros o una altitud por debajo del nivel del mar. Para expresarlas no bastan los números naturales (0, 1, 2, 3…): necesitamos los números enteros.
En esta lección aprenderás qué son los números enteros, cómo se ordenan y, sobre todo, cómo se suman, se restan, se multiplican y se dividen, y en qué orden se hacen las operaciones cuando aparecen varias juntas.
El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está formado por:
El valor absoluto de un número entero es su distancia al cero en la recta numérica, y siempre es positivo o cero. Se escribe entre barras: |−7| = 7 y |+7| = 7.
El opuesto de un número es el que tiene el mismo valor absoluto y distinto signo: el opuesto de +5 es −5, y el opuesto de −5 es +5.
En la recta numérica, un número es mayor cuanto más a la derecha está. Por eso:
Ejemplo de ordenación de menor a mayor: −9 < −2 < 0 < 3 < 8.
Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto: a − b = a + (−b).
Por ejemplo: (+3) − (+8) = (+3) + (−8) = −5, y (−5) − (−8) = (−5) + (+8) = +3.
Se multiplican (o dividen) los valores absolutos y el signo del resultado se obtiene así:
La regla es la misma para la división: (−36) : (+4) = −9; (−36) : (−4) = +9.
Si se multiplican varios factores, el resultado es positivo si hay un número par de factores negativos y negativo si hay un número impar.
Una potencia de base negativa es positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar: (−2)4 = 16 y (−2)3 = −8.
Cuidado con los paréntesis: (−3)2 = (−3) · (−3) = 9, pero −32 = −(3 · 3) = −9, porque sin paréntesis el exponente solo afecta al 3.
Cuando hay varias operaciones, se hacen en este orden:
Ejemplo 1. Calcula (−7) + (+12) − (−5).
Paso 1: quitamos los paréntesis: −7 + 12 + 5.
Paso 2: sumamos los positivos: 12 + 5 = 17.
Paso 3: sumamos con el negativo: −7 + 17 = 10.
Ejemplo 2. Calcula (−3) · (+4) · (−2).
Hay dos factores negativos (número par), así que el resultado es positivo. Valores absolutos: 3 · 4 · 2 = 24. Resultado: +24.
Ejemplo 3. Calcula 12 − 3 · (−4) + (−20) : 5.
Paso 1: primero multiplicaciones y divisiones: 3 · (−4) = −12 y (−20) : 5 = −4.
Paso 2: sustituimos: 12 − (−12) + (−4) = 12 + 12 − 4.
Paso 3: sumas y restas de izquierda a derecha: 24 − 4 = 20.
Ejemplo 4. Un submarino está a 120 m bajo el nivel del mar, sube 45 m y después baja 30 m. ¿A qué profundidad queda?
Planteamos: −120 + 45 − 30 = −75 − 30 = −105. El submarino queda a 105 m bajo el nivel del mar.
¿Cuál es el resultado de (−8) + (+15) − (−6)?
¿Cuál es el resultado de (−5) · (+3) · (−2)?
Respetando la jerarquía de las operaciones, ¿cuánto vale 10 − 2 · (−6) + (−18) : 3?
¿Cuánto vale (−2)4 − (−3)2?
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