Los números enteros y el valor absoluto

Introducción

Hasta ahora has trabajado sobre todo con números naturales: 0, 1, 2, 3... Pero en la vida diaria aparecen muchas situaciones que no se pueden describir solo con ellos. En invierno el termómetro marca 3 grados bajo cero; un garaje está en la planta −2; una cuenta del banco puede quedarse en números rojos; un submarino navega a 200 metros por debajo del nivel del mar. Para expresar estas cantidades necesitamos los números enteros.

Explicación

¿Qué son los números enteros?

Los números enteros forman el conjunto que se representa con la letra ℤ. Está formado por:

• Enteros positivos: +1, +2, +3, +4... Normalmente el signo + no se escribe: +5 es lo mismo que 5.
• El cero: 0, que no es ni positivo ni negativo.
• Enteros negativos: −1, −2, −3, −4... Siempre llevan el signo − delante.

Así, ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Los números naturales son también enteros, pero hay enteros (los negativos) que no son naturales.

Situaciones que se expresan con enteros

• Temperaturas: 4 °C bajo cero → −4 °C; 25 °C sobre cero → +25 °C.
• Altitudes: la cima de una montaña a 1.200 m → +1.200 m; un buzo a 15 m de profundidad → −15 m.
• Plantas de un edificio: la planta baja es la 0, el primer sótano es la −1.
• Dinero: ingresar 50 € → +50; deber 30 € → −30.
• Historia: el año 218 antes de Cristo puede escribirse como −218 (aunque en ese calendario no existe el año 0).

Representación en la recta numérica

Para representar los enteros dibujamos una recta, marcamos el 0 y, a partir de él, señalamos puntos separados siempre por la misma distancia. A la derecha del cero colocamos los positivos (1, 2, 3...) y a la izquierda los negativos (−1, −2, −3...).

−5   −4   −3   −2   −1   0   1   2   3   4   5

Números opuestos

Dos números son opuestos si están a la misma distancia del cero pero en lados distintos de la recta. Tienen el mismo número sin signo y signos contrarios. El opuesto de 6 es −6, y el opuesto de −9 es 9. El opuesto de 0 es el propio 0. Se escribe op(a) = −a.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay desde ese número hasta el cero en la recta numérica. Se escribe entre dos barras verticales: |a|.

• El valor absoluto de un número positivo es el propio número: |7| = 7.
• El valor absoluto de un número negativo es su opuesto, es decir, el número sin el signo: |−7| = 7.
• El valor absoluto de 0 es 0: |0| = 0.

Como es una distancia, el valor absoluto nunca es negativo. Además, dos números opuestos tienen siempre el mismo valor absoluto: |−4| = |4| = 4.

Comparación y orden de números enteros

En la recta numérica, un número es mayor que otro si está más a la derecha. De ahí salen estas reglas:

• Cualquier número positivo es mayor que 0 y que cualquier negativo: 2 > 0 y 2 > −100.
• Cualquier número negativo es menor que 0: −3 < 0.
• Entre dos positivos, es mayor el de mayor valor absoluto: 8 > 5.
• Entre dos negativos, es mayor el de menor valor absoluto: −2 > −6, porque −2 está más cerca del cero, más a la derecha.

Este último caso es el que más errores provoca. Piensa en temperaturas: a −2 °C hace menos frío que a −6 °C, así que −2 es mayor que −6.

Ejemplo

Ejemplo 1. Escribe con un número entero cada situación: a) Estoy en el tercer sótano. b) La temperatura ha subido 5 grados. c) Debo 12 €.

a) −3   b) +5   c) −12

Ejemplo 2. Calcula: |−8|, |5|, |0| y |−8| + |5|.

|−8| = 8 (distancia de −8 al cero); |5| = 5; |0| = 0. Por tanto, |−8| + |5| = 8 + 5 = 13.

Ejemplo 3. Ordena de menor a mayor: 4, −7, 0, −1, 9, −3.

Primero los negativos: el que tiene mayor valor absoluto es el menor, así que −7 < −3 < −1. Después va el 0 y, por último, los positivos de menor a mayor: 4 < 9.

Resultado: −7 < −3 < −1 < 0 < 4 < 9.

Ejemplo 4. ¿Qué números enteros tienen valor absoluto 5?

Los que están a 5 unidades del cero: uno a la derecha y otro a la izquierda. Son 5 y −5.

Ejemplo 5. Escribe todos los números enteros comprendidos entre −4 y 2 (sin incluirlos).

En la recta, entre −4 y 2 están: −3, −2, −1, 0, 1.

Ejercicios