Temario gratis › Matemáticas 1.º ESO

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

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Introducción

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) y el máximo común divisor (m.c.d.) sirven para resolver muchos problemas: saber cuándo vuelven a coincidir dos sucesos que se repiten, repartir cosas en grupos iguales lo más grandes posible o sumar fracciones con distinto denominador.

Explicación

Recuerda que los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por 1, 2, 3…, y que los divisores de un número son los que lo dividen de forma exacta.

El m.c.m. de varios números es el menor de sus múltiplos comunes, sin contar el 0. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24… Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24… El primero común es 12, así que m.c.m.(4, 6) = 12.
El m.c.d. de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. El mayor común es 6, así que m.c.d.(12, 18) = 6.

Con números grandes, hacer listas es lento. Es mejor usar la descomposición en factores primos:

m.c.m.: se toman los factores primos comunes y no comunes, cada uno con el mayor exponente.
m.c.d.: se toman solo los factores primos comunes, cada uno con el menor exponente. Si no hay factores comunes, el m.c.d. es 1 y los números se llaman primos entre sí.

¿Cómo saber cuál usar en un problema? Si buscamos cuándo vuelven a coincidir cosas que se repiten o una cantidad que contenga a otras («cada cuánto», «la menor cantidad que…»), usamos el m.c.m. Si buscamos dividir en partes iguales lo más grandes posible («el mayor tamaño», «sin que sobre nada»), usamos el m.c.d.

Una comprobación útil para dos números: m.c.m.(a, b) · m.c.d.(a, b) = a · b.

Ejemplo

Ejemplo 1. Calcula el m.c.m. y el m.c.d. de 12 y 18.

12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3².

m.c.m. = 2² · 3² = 4 · 9 = 36. m.c.d. = 2 · 3 = 6. Comprobación: 36 · 6 = 216 = 12 · 18.

Ejemplo 2. Tenemos 24 rosas y 36 margaritas y queremos hacer ramos iguales, lo más grandes posible, sin que sobre ninguna flor. ¿Cuántas flores de cada tipo lleva cada ramo?

Buscamos el mayor número que divida a 24 y a 36: m.c.d. 24 = 2³ · 3 y 36 = 2² · 3², así que m.c.d. = 2² · 3 = 12. Se hacen 12 ramos, cada uno con 24 : 12 = 2 rosas y 36 : 12 = 3 margaritas.

Ejercicios

Calcula m.c.d.(36, 48).

Un autobús sale cada 12 minutos y otro cada 20 minutos. Si salen juntos a las 8:00, ¿a qué hora vuelven a salir juntos por primera vez?

Material adicional

Números enteros: el conjunto ℤ

Los números enteros amplían el conjunto de los naturales al incluir los números negativos. El conjunto de los enteros se representa con la letra ℤ:

🔢 Fórmula

ℤ = { ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }

Los números enteros nos permiten expresar situaciones que los naturales no pueden representar: temperaturas bajo cero, profundidades marinas, deudas económicas, pisos subterráneos de un edificio, etc.

Representación en la recta numérica

En la recta numérica, los números positivos se sitúan a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. Un número es mayor cuanto más a la derecha esté.

-5

-4

-3

-2

-1

← Menores Mayores →

Valor absoluto y opuesto

El valor absoluto de un número entero es su distancia al cero, siempre positiva. Se escribe entre barras verticales: |a|.

El opuesto de un número es el que tiene el mismo valor absoluto pero signo contrario.

Número	Valor absoluto	Opuesto
+7	\|+7\| = 7	−7
−3	\|−3\| = 3	+3
0	\|0\| = 0	0
−12	\|−12\| = 12	+12

Ordenación de números enteros

Para ordenar números enteros, recordamos:

Todo número positivo es mayor que cualquier número negativo.
El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.
Entre dos negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.

📘 Ejemplo

Ordena de menor a mayor: 3, −7, 0, −2, 5, −5

Primero los negativos (del más pequeño al más grande): −7, −5, −2
Luego el cero: 0
Después los positivos: 3, 5

Resultado: −7 < −5 < −2 < 0 < 3 < 5

Suma de números enteros

Mismo signo: se suman los valores absolutos y se conserva el signo.

Distinto signo: se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

📘 Ejemplo

Mismo signo:
(+5) + (+8) = +13   (se suman 5 + 8 = 13, signo +)
(−3) + (−9) = −12   (se suman 3 + 9 = 12, signo −)

Distinto signo:
(+7) + (−4) = +3   (se restan 7 − 4 = 3, signo del mayor: +)
(−10) + (+6) = −4   (se restan 10 − 6 = 4, signo del mayor: −)

Resta de números enteros

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto:

🔢 Fórmula

a − b = a + (−b)

📘 Ejemplo

(+5) − (+8) = (+5) + (−8) = −3
(−3) − (−7) = (−3) + (+7) = +4
(+2) − (−6) = (+2) + (+6) = +8
(−4) − (+9) = (−4) + (−9) = −13

Multiplicación y división de enteros

Para multiplicar o dividir enteros, se opera con los valores absolutos y luego se aplica la regla de los signos:

Signos	Resultado
(+) × (+) o (−) × (−)	Positivo (+)
(+) × (−) o (−) × (+)	Negativo (−)

📌 Recuerda

Signos iguales → resultado positivo. Signos distintos → resultado negativo. Esta regla funciona igual para la multiplicación y la división.

📘 Ejemplo

(+4) × (−6) = −24   (signos distintos → negativo)
(−3) × (−8) = +24   (signos iguales → positivo)
(−20) ÷ (+5) = −4   (signos distintos → negativo)
(−18) ÷ (−3) = +6   (signos iguales → positivo)

Operaciones combinadas con enteros

Al operar con enteros, se sigue la misma jerarquía de operaciones que con los naturales: paréntesis, potencias, multiplicaciones/divisiones, sumas/restas.

📘 Ejemplo

Calcula: (−2) × 3 − (−4) + (−6) ÷ 2

Paso 1: Multiplicación y división:
(−2) × 3 = −6 (−6) ÷ 2 = −3

Paso 2: Sustituimos y sumamos/restamos:
−6 − (−4) + (−3) = −6 + 4 − 3 = −2 + (−3) = −5

🌍 Aplicación en la vida real

La temperatura a las 8 de la mañana en Teruel es de −5 °C. A mediodía sube 12 grados y por la noche baja 8 grados respecto a mediodía. ¿Cuál es la temperatura por la noche?

Solución:
A mediodía: −5 + 12 = +7 °C
Por la noche: +7 − 8 = −1 °C

✏️ Ejercicios

1. Representa en la recta numérica: −4, +2, −1, +5, 0, −3.

2. Ordena de menor a mayor: +3, −8, +1, −1, 0, −5, +6.

3. Calcula el valor absoluto y el opuesto de: −15, +9, −1, +23, 0.

4. Calcula las siguientes sumas:
  a) (+7) + (−3) b) (−8) + (−5) c) (+12) + (−12) d) (−6) + (+10)

5. Calcula las siguientes restas:
  a) (+4) − (+9) b) (−3) − (−7) c) (−5) − (+2) d) (+8) − (−3)

6. Calcula aplicando la regla de los signos:
  a) (−4) × (+6) b) (−7) × (−3) c) (+36) ÷ (−9) d) (−42) ÷ (−7)

7. Resuelve las operaciones combinadas:
  a) 5 − 3 × (−2) + 4
  b) (−8) + 2 × (3 − 7)
  c) (−12) ÷ 4 − (−3) × 2

8. Un submarino está a −120 m de profundidad. Sube 45 m, luego baja 30 m y finalmente sube 60 m. ¿A qué profundidad está?

9. La temperatura mínima fue −7 °C y la máxima +4 °C. ¿Cuál fue la variación térmica?

10. En una cuenta bancaria hay 250 €. Se retiran 80 €, se ingresan 120 € y se pagan 310 €. ¿Cuál es el saldo final?

📋 Resumen de la lección

Los números enteros (ℤ) incluyen positivos, negativos y cero.
El valor absoluto es la distancia al cero; el opuesto tiene el mismo valor absoluto pero signo contrario.
Para sumar con mismo signo se suman valores absolutos; con distinto signo se restan.
Restar equivale a sumar el opuesto: a − b = a + (−b).
Regla de los signos: iguales → positivo; distintos → negativo.
La jerarquía de operaciones se aplica igual que con los naturales.

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