Números enteros: el conjunto ℤ
Los números enteros amplían el conjunto de los naturales al incluir los números negativos. El conjunto de los enteros se representa con la letra ℤ:
🔢 Fórmulaℤ = { ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Los números enteros nos permiten expresar situaciones que los naturales no pueden representar: temperaturas bajo cero, profundidades marinas, deudas económicas, pisos subterráneos de un edificio, etc.
Representación en la recta numérica
En la recta numérica, los números positivos se sitúan a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. Un número es mayor cuanto más a la derecha esté.
Valor absoluto y opuesto
El valor absoluto de un número entero es su distancia al cero, siempre positiva. Se escribe entre barras verticales: |a|.
El opuesto de un número es el que tiene el mismo valor absoluto pero signo contrario.
| Número | Valor absoluto | Opuesto |
|---|
| +7 | |+7| = 7 | −7 |
| −3 | |−3| = 3 | +3 |
| 0 | |0| = 0 | 0 |
| −12 | |−12| = 12 | +12 |
Ordenación de números enteros
Para ordenar números enteros, recordamos:
- Todo número positivo es mayor que cualquier número negativo.
- El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.
- Entre dos negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.
📘 EjemploOrdena de menor a mayor: 3, −7, 0, −2, 5, −5
Primero los negativos (del más pequeño al más grande): −7, −5, −2
Luego el cero: 0
Después los positivos: 3, 5
Resultado: −7 < −5 < −2 < 0 < 3 < 5
Suma de números enteros
Mismo signo: se suman los valores absolutos y se conserva el signo.
Distinto signo: se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.
📘 EjemploMismo signo:
(+5) + (+8) = +13 (se suman 5 + 8 = 13, signo +)
(−3) + (−9) = −12 (se suman 3 + 9 = 12, signo −)
Distinto signo:
(+7) + (−4) = +3 (se restan 7 − 4 = 3, signo del mayor: +)
(−10) + (+6) = −4 (se restan 10 − 6 = 4, signo del mayor: −)
Resta de números enteros
Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto:
🔢 Fórmulaa − b = a + (−b)
📘 Ejemplo(+5) − (+8) = (+5) + (−8) = −3
(−3) − (−7) = (−3) + (+7) = +4
(+2) − (−6) = (+2) + (+6) = +8
(−4) − (+9) = (−4) + (−9) = −13
Multiplicación y división de enteros
Para multiplicar o dividir enteros, se opera con los valores absolutos y luego se aplica la regla de los signos:
| Signos | Resultado |
|---|
| (+) × (+) o (−) × (−) | Positivo (+) |
| (+) × (−) o (−) × (+) | Negativo (−) |
📌 RecuerdaSignos iguales → resultado positivo. Signos distintos → resultado negativo. Esta regla funciona igual para la multiplicación y la división.
📘 Ejemplo(+4) × (−6) = −24 (signos distintos → negativo)
(−3) × (−8) = +24 (signos iguales → positivo)
(−20) ÷ (+5) = −4 (signos distintos → negativo)
(−18) ÷ (−3) = +6 (signos iguales → positivo)
Operaciones combinadas con enteros
Al operar con enteros, se sigue la misma jerarquía de operaciones que con los naturales: paréntesis, potencias, multiplicaciones/divisiones, sumas/restas.
📘 EjemploCalcula: (−2) × 3 − (−4) + (−6) ÷ 2
Paso 1: Multiplicación y división:
(−2) × 3 = −6 (−6) ÷ 2 = −3
Paso 2: Sustituimos y sumamos/restamos:
−6 − (−4) + (−3) = −6 + 4 − 3 = −2 + (−3) = −5
🌍 Aplicación en la vida realLa temperatura a las 8 de la mañana en Teruel es de −5 °C. A mediodía sube 12 grados y por la noche baja 8 grados respecto a mediodía. ¿Cuál es la temperatura por la noche?
Solución:
A mediodía: −5 + 12 = +7 °C
Por la noche: +7 − 8 = −1 °C
✏️ Ejercicios1. Representa en la recta numérica: −4, +2, −1, +5, 0, −3.
2. Ordena de menor a mayor: +3, −8, +1, −1, 0, −5, +6.
3. Calcula el valor absoluto y el opuesto de: −15, +9, −1, +23, 0.
4. Calcula las siguientes sumas:
a) (+7) + (−3) b) (−8) + (−5) c) (+12) + (−12) d) (−6) + (+10)
5. Calcula las siguientes restas:
a) (+4) − (+9) b) (−3) − (−7) c) (−5) − (+2) d) (+8) − (−3)
6. Calcula aplicando la regla de los signos:
a) (−4) × (+6) b) (−7) × (−3) c) (+36) ÷ (−9) d) (−42) ÷ (−7)
7. Resuelve las operaciones combinadas:
a) 5 − 3 × (−2) + 4
b) (−8) + 2 × (3 − 7)
c) (−12) ÷ 4 − (−3) × 2
8. Un submarino está a −120 m de profundidad. Sube 45 m, luego baja 30 m y finalmente sube 60 m. ¿A qué profundidad está?
9. La temperatura mínima fue −7 °C y la máxima +4 °C. ¿Cuál fue la variación térmica?
10. En una cuenta bancaria hay 250 €. Se retiran 80 €, se ingresan 120 € y se pagan 310 €. ¿Cuál es el saldo final?
📋 Resumen de la lección- Los números enteros (ℤ) incluyen positivos, negativos y cero.
- El valor absoluto es la distancia al cero; el opuesto tiene el mismo valor absoluto pero signo contrario.
- Para sumar con mismo signo se suman valores absolutos; con distinto signo se restan.
- Restar equivale a sumar el opuesto: a − b = a + (−b).
- Regla de los signos: iguales → positivo; distintos → negativo.
- La jerarquía de operaciones se aplica igual que con los naturales.