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Números naturales, divisibilidad y números primos
Los números naturales son los números que usamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Se representan con la letra ℕ. Este conjunto es infinito, es decir, siempre podemos encontrar un número natural mayor que cualquier otro.
En 1.º de ESO profundizamos en las propiedades de estos números y en las operaciones fundamentales que ya conocemos de Primaria, pero ahora con mayor rigor matemático.
El sistema de numeración decimal
Nuestro sistema de numeración es posicional y de base 10. Esto significa que el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa. Utilizamos diez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y cada posición vale 10 veces más que la anterior.
📘 EjemploEl número 3.725 se descompone así:
3.725 = 3 × 1.000 + 7 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1
3.725 = 3 × 10³ + 7 × 10² + 2 × 10¹ + 5 × 10⁰
3 ocupa la posición de las unidades de millar.
7 ocupa la posición de las centenas.
2 ocupa la posición de las decenas.
5 ocupa la posición de las unidades.
Operaciones con números naturales
Las cuatro operaciones básicas con números naturales son:
| Operación | Símbolo | Ejemplo | Resultado |
|---|
| Suma (adición) | + | 245 + 378 | 623 |
| Resta (sustracción) | − | 502 − 187 | 315 |
| Multiplicación (producto) | × | 36 × 24 | 864 |
| División (cociente) | ÷ | 156 ÷ 12 | 13 |
Propiedades de la suma y la multiplicación
| Propiedad | Suma | Multiplicación |
|---|
| Conmutativa | a + b = b + a | a × b = b × a |
| Asociativa | (a + b) + c = a + (b + c) | (a × b) × c = a × (b × c) |
| Elemento neutro | a + 0 = a | a × 1 = a |
| Distributiva | — | a × (b + c) = a × b + a × c |
📘 EjemploPropiedad distributiva en acción:
Calcula 15 × 102 usando la propiedad distributiva:
15 × 102 = 15 × (100 + 2) = 15 × 100 + 15 × 2 = 1.500 + 30 = 1.530
Esto nos permite hacer cálculos mentales de forma más sencilla.
División entera
Cuando dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es exacto. La división entera tiene cuatro elementos:
🔢 FórmulaDividendo = Divisor × Cociente + Resto
Donde: 0 ≤ Resto < Divisor
📘 EjemploDivide 247 entre 8:
247 ÷ 8 → Cociente = 30, Resto = 7
Comprobación: 8 × 30 + 7 = 240 + 7 = 247 ✓
Como el resto es 7 (distinto de 0), la división no es exacta.
Jerarquía de operaciones
Cuando una expresión tiene varias operaciones, debemos seguir este orden:
- Paréntesis: primero se resuelve lo que está dentro de los paréntesis.
- Potencias y raíces.
- Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
- Sumas y restas (de izquierda a derecha).
📘 EjemploCalcula: 3 + 2 × (8 − 3) − 4
Paso 1: Paréntesis → 8 − 3 = 5
Paso 2: Multiplicación → 2 × 5 = 10
Paso 3: Sumas y restas de izquierda a derecha → 3 + 10 − 4 = 9
Divisibilidad: múltiplos y divisores
Un número a es divisible entre b si la división a ÷ b es exacta (resto 0). En ese caso decimos que b es divisor de a, y a es múltiplo de b.
📘 EjemploMúltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
Se obtienen multiplicando 6 × 1, 6 × 2, 6 × 3, ...
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Son los números que dividen a 24 de forma exacta.
Criterios de divisibilidad
| Divisible por | Criterio | Ejemplo |
|---|
| 2 | Termina en cifra par (0, 2, 4, 6, 8) | 374 → sí (termina en 4) |
| 3 | La suma de sus cifras es múltiplo de 3 | 372 → 3+7+2=12 → sí |
| 5 | Termina en 0 o en 5 | 845 → sí (termina en 5) |
| 9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9 | 738 → 7+3+8=18 → sí |
| 10 | Termina en 0 | 520 → sí |
| 11 | La diferencia alternada de cifras es 0 o múltiplo de 11 | 9.163 → 9−1+6−3=11 → sí |
Números primos y compuestos
Un número natural mayor que 1 es primo si solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. Si tiene más divisores, es compuesto.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...
⚠️ ImportanteEl número 1 no se considera ni primo ni compuesto. El número 2 es el único número primo par.
Descomposición en factores primos
📘 EjemploDescompón 360 en factores primos:
360 ÷ 2 = 180
180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
360 = 2³ × 3² × 5
Máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (mcm)
🔢 FórmulaMCD: se toman los factores comunes elevados al menor exponente.
mcm: se toman todos los factores (comunes y no comunes) elevados al mayor exponente.
📘 EjemploCalcula el MCD y el mcm de 72 y 120:
72 = 2³ × 3²
120 = 2³ × 3 × 5
MCD(72, 120) = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24
mcm(72, 120) = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360
🌍 Aplicación en la vida realProblema: Ana va al gimnasio cada 6 días y Marcos cada 8 días. Si hoy coinciden, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir?
Solución: Necesitamos el mcm(6, 8).
6 = 2 × 3 8 = 2³
mcm = 2³ × 3 = 24
Volverán a coincidir dentro de 24 días.
✏️ Ejercicios1. Descompón en unidades, decenas, centenas y millares el número 45.803.
2. Calcula aplicando la jerarquía de operaciones:
a) 5 + 3 × 4 − 2
b) (7 + 3) × (12 − 8)
c) 24 ÷ 6 + 2 × (5 − 1)
d) 100 − 4 × (3 + 2 × 5)
3. Realiza la división entera de 5.437 ÷ 23 y comprueba el resultado.
4. Escribe los 8 primeros múltiplos de 7.
5. Halla todos los divisores de 48.
6. Indica si estos números son primos o compuestos: 17, 21, 29, 35, 41, 51.
7. Descompón en factores primos: a) 180 b) 252 c) 504
8. Calcula el MCD y el mcm de 36 y 54.
9. Un faro se enciende cada 12 segundos y otro cada 18 segundos. Si se encienden a la vez, ¿cuántos segundos tardarán en volver a coincidir?
10. Se quieren repartir 72 caramelos y 48 chicles en bolsas iguales con el mayor número posible de golosinas. ¿Cuántas bolsas se pueden hacer y qué contendrá cada una?
📋 Resumen de la lección- Los números naturales (ℕ) sirven para contar: 0, 1, 2, 3, ...
- El sistema decimal es posicional y de base 10.
- Jerarquía de operaciones: paréntesis → potencias → multiplicación/división → suma/resta.
- Un número primo solo tiene dos divisores (1 y él mismo); un compuesto tiene más.
- MCD: factores comunes con menor exponente. mcm: todos los factores con mayor exponente.
- Los criterios de divisibilidad permiten determinar rápidamente si un número es divisible por 2, 3, 5, 9, etc.