Poleas, engranajes, cadenas, relación de transmisión - Ejercicios y resumen

Mecanismos de transmisión: resumen y ejercicios

Resumen de la teoría

Los mecanismos de transmisión circular llevan el giro de un eje motriz a un eje conducido. Los tres que estudiamos en 3.º de ESO son:

• Poleas con correa: dos ruedas acanaladas unidas por una correa. Ley: n₁ · d₁ = n₂ · d₂. Correa abierta: mismo sentido de giro; correa cruzada: sentido contrario. Pueden patinar.
• Engranajes: ruedas dentadas en contacto directo. Ley: n₁ · z₁ = n₂ · z₂ (z = número de dientes). Dos engranajes exteriores giran en sentidos contrarios. No patinan.
• Cadena y piñones: ruedas dentadas separadas unidas por una cadena (bicicleta, motocicleta). Misma ley que los engranajes; ambas ruedas giran en el mismo sentido.
• Tornillo sin fin y rueda dentada: por cada vuelta del tornillo (de una entrada), la rueda avanza un solo diente. Si la rueda tiene z dientes, n_rueda = n_tornillo / z. Produce reducciones muy grandes y el movimiento no es reversible: la rueda no puede mover al tornillo.

Relación de transmisión: i = n₂ / n₁ = d₁ / d₂ = z₁ / z₂.

• i > 1: sistema multiplicador (el motriz es más grande que el conducido).
• i < 1: sistema reductor (el motriz es más pequeño que el conducido). Gana fuerza de giro y pierde velocidad.
• En un tren de mecanismos, la relación total es el producto de las parciales.

Truco para comprobar el resultado: la rueda pequeña siempre gira más rápido que la grande. Si te sale lo contrario, has colocado mal los datos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (diámetro desconocido). Un motor gira a 1400 rpm con una polea de 6 cm. Necesitamos que el eje de una máquina gire a 350 rpm. ¿Qué diámetro debe tener la polea conducida?

• Despejamos: d₂ = n₁ · d₁ / n₂ = 1400 · 6 / 350 = 8400 / 350 = 24 cm.
• Comprobación: la conducida es más grande que la motriz, así que gira más despacio. Correcto: es un reductor con i = 6/24 = 1/4.

Ejemplo 2 (tren de engranajes). Un motor de 2400 rpm lleva un piñón de 12 dientes que engrana con una rueda de 36 dientes. Solidario con esta (en el mismo eje) hay un piñón de 10 dientes que engrana con una rueda de 40. Calcula la velocidad final y la relación total.

• Primer par: n₂ = 2400 · 12 / 36 = 800 rpm. El eje intermedio gira a 800 rpm.
• Segundo par: n₄ = 800 · 10 / 40 = 200 rpm.
• i_total = (12/36) · (10/40) = (1/3) · (1/4) = 1/12. Comprobación: 2400 / 12 = 200 rpm.

Ejemplo 3 (tornillo sin fin). Un tornillo sin fin gira a 1200 rpm y mueve una rueda de 40 dientes. n_rueda = 1200 / 40 = 30 rpm. Con un solo par de elementos conseguimos una reducción de 1/40, algo que con dos poleas exigiría que una fuera 40 veces más grande que la otra.

Ejemplo 4 (cambio de marchas de una bicicleta). Con un plato de 44 dientes, ¿qué piñón conviene para subir una cuesta: uno de 11 o uno de 33 dientes? Con el de 11, i = 44/11 = 4 (la rueda da 4 vueltas por pedalada: mucha velocidad pero hay que hacer mucha fuerza). Con el de 33, i = 44/33 ≈ 1,33 (menos vueltas por pedalada, pero cuesta mucho menos pedalear). Para subir, el piñón grande.

Errores frecuentes

• Intercambiar motriz y conducido. Antes de sustituir en la fórmula, escribe qué rueda recibe el giro del motor (subíndice 1) y cuál lo recibe de ella (subíndice 2).
• Mezclar unidades. Los dos diámetros deben estar en la misma unidad (los dos en cm o los dos en mm); si no, el resultado sale multiplicado o dividido por 10.
• Sumar en lugar de multiplicar en los trenes. La relación total de un tren es el producto de las relaciones parciales, nunca su suma.
• Olvidar el sentido de giro. En un tren de engranajes exteriores, cada nuevo contacto invierte el sentido; las ruedas montadas en el mismo eje giran juntas y en el mismo sentido.

Ejercicios