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Matemáticas II: resumen de los bloques clave para la EVAU
Matemáticas II es una de las materias troncales de la modalidad de Ciencias y Tecnología. El examen de EVAU suele incluir problemas de álgebra (matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones), análisis (límites, derivadas, integrales, optimización), geometría analítica (vectores, rectas y planos en el espacio) y, en algunos modelos, probabilidad. En esta lección repasamos los conceptos y procedimientos esenciales.
Bloque 1: Álgebra — Matrices y determinantes
Las matrices son tablas rectangulares de números. Las operaciones fundamentales son la suma, la resta, el producto por un escalar y el producto de matrices. El producto de una matriz A (m×n) por una matriz B (n×p) da una matriz C (m×p) cuyo elemento c_ij se calcula como la suma de los productos de la fila i de A por la columna j de B.
El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Es cero si la matriz es singular (no invertible). Para matrices 2×2 y 3×3:
📘 EjemploDeterminante 2×2:
|a b| = ad - bc
|c d|
Determinante 3×3 (regla de Sarrus):
Se suman los productos de las tres diagonales principales y se restan los de las tres diagonales secundarias.
La matriz inversa A⁻¹ existe si y solo si det(A) ≠ 0. Se calcula como A⁻¹ = (1/det(A)) × Adj(A)ᵀ, donde Adj(A) es la matriz de adjuntos (cofactores).
El rango de una matriz es el mayor orden de un menor con determinante no nulo. Se usa para clasificar sistemas de ecuaciones (Teorema de Rouché-Frobenius).
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales se clasifica según el Teorema de Rouché-Frobenius:
| Condición | Clasificación | Soluciones |
|---|
| rg(A) = rg(A|B) = n.º incógnitas | Compatible determinado (SCD) | Una única solución |
| rg(A) = rg(A|B) < n.º incógnitas | Compatible indeterminado (SCI) | Infinitas soluciones (depende de parámetros) |
| rg(A) ≠ rg(A|B) | Incompatible (SI) | Sin solución |
💡 Consejo de examenEn la EVAU, los problemas de sistemas con parámetros son muy frecuentes. El procedimiento estándar es:
1. Calcular det(A) en función del parámetro.
2. Hallar los valores del parámetro que anulan el determinante.
3. Para cada valor, aplicar Rouché-Frobenius (comparar rangos).
4. Resolver el sistema para los valores que dan SCD (por Cramer o Gauss).
Bloque 2: Análisis — Derivadas e integrales
La derivada mide la tasa de variación instantánea de una función. Las reglas básicas son:
| Función | Derivada | Ejemplo |
|---|
| f(x) = xⁿ | f'(x) = n·xⁿ⁻¹ | f(x) = x³ → f'(x) = 3x² |
| f(x) = eˣ | f'(x) = eˣ | f(x) = e²ˣ → f'(x) = 2e²ˣ (regla de la cadena) |
| f(x) = ln(x) | f'(x) = 1/x | f(x) = ln(3x) → f'(x) = 1/x |
| f(x) = sen(x) | f'(x) = cos(x) | f(x) = sen(2x) → f'(x) = 2cos(2x) |
| f(x) = cos(x) | f'(x) = -sen(x) | f(x) = cos(x²) → f'(x) = -2x·sen(x²) |
Aplicaciones de la derivada en la EVAU: monotonía (f'(x) > 0 → creciente; f'(x) < 0 → decreciente), extremos relativos (f'(x₀) = 0 y cambio de signo), curvatura (f''(x) > 0 → cóncava; f''(x) < 0 → convexa), puntos de inflexión (f''(x₀) = 0 y cambio de signo) y optimización (problemas de máximos y mínimos con restricciones).
La integral definida calcula áreas y acumula cantidades. Las técnicas de integración más frecuentes en la EVAU son:
| Técnica | Cuándo usarla | Ejemplo |
|---|
| Integral inmediata | Funciones potencia, exponenciales, trigonométricas directas | ∫x² dx = x³/3 + C |
| Sustitución (cambio de variable) | Cuando aparece una función y su derivada | ∫2x·eˣ² dx → u = x², du = 2x dx → eᵘ + C |
| Por partes | ∫u·dv → u·v - ∫v·du | ∫x·eˣ dx = x·eˣ - eˣ + C |
| Fracciones simples | Integrales de funciones racionales | ∫dx/(x²-1) = ½ ln|x-1/x+1| + C |
Bloque 3: Geometría en el espacio
Los temas clave de geometría para la EVAU son:
• Vectores en R³: producto escalar (a·b = |a||b|cos θ), producto vectorial (a×b = vector perpendicular a ambos), producto mixto (volumen del paralelepípedo).
• Ecuaciones de la recta: vectorial (P + t·v), paramétrica, continua, implícita (intersección de dos planos).
• Ecuaciones del plano: vectorial, paramétrica, general (Ax + By + Cz + D = 0), normal.
• Posiciones relativas: dos rectas (secantes, paralelas, coincidentes, cruzadas), recta-plano (secante, paralelo, contenido), dos planos (secantes, paralelos, coincidentes).
• Distancias: punto-plano [d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²)], punto-recta, entre rectas paralelas, entre rectas que se cruzan.
• Ángulos: entre rectas (cos α = |v₁·v₂|/(|v₁||v₂|)), entre planos, entre recta y plano.
💡 Consejo de examenEn geometría de la EVAU:
1. Dibuja siempre un esquema, aunque sea aproximado. Te ayuda a visualizar el problema.
2. Identifica qué te piden (distancia, ángulo, posición relativa, ecuación...) antes de empezar a calcular.
3. Comprueba tu resultado: si calculas una distancia, debe ser positiva; si calculas un ángulo, debe estar entre 0° y 90°.
✏️ Ejercicios1. Calcula el determinante de la matriz A = {{2, 1, -1}, {3, 0, 2}, {1, -1, 3}} por la regla de Sarrus.
2. Clasifica y resuelve (si es posible) el sistema:
2x + y - z = 3
x - y + 2z = 1
3x + 2y - 3z = 5
3. Calcula la derivada de f(x) = (x² + 1)·eˣ usando la regla del producto.
4. Halla los extremos relativos de f(x) = x³ - 3x + 2. Determina si son máximos o mínimos.
5. Calcula la integral definida ∫₀¹ (2x·eˣ²) dx mediante sustitución.
6. Dada la recta r: (x,y,z) = (1,0,2) + t(1,1,-1) y el plano π: 2x - y + z = 3, determina su posición relativa y, si se cortan, halla el punto de intersección.
7. Calcula la distancia del punto P(1,2,3) al plano π: x + 2y - 2z + 1 = 0.
8. Haz un esquema-resumen de las fórmulas de derivadas más usadas en la EVAU.
🎯 Actividad prácticaExamen tipo EVAU de Matemáticas II:
Busca el examen de Matemáticas II de la EVAU de tu comunidad autónoma del año pasado. Hazlo cronometrado (90 minutos). Al terminar, compara con las soluciones y calcula tu nota. Identifica los bloques donde necesitas más práctica.
🤔 ¿Sabías que...?Matemáticas II suele ser una de las materias con mayor nota media en la EVAU porque los alumnos que la eligen suelen ser los más preparados en ciencias. Sin embargo, también es una de las que más puede subir la nota de admisión gracias a la ponderación ×0,2 para la mayoría de las carreras de ciencias e ingeniería. Un 9 en Matemáticas II aporta 1,8 puntos extra a tu nota de admisión.
📋 Resumen de la lección- Álgebra: matrices (operaciones, determinante, inversa, rango), sistemas de ecuaciones (Rouché-Frobenius, Cramer, Gauss).
- Análisis: derivadas (reglas, monotonía, extremos, optimización), integrales (inmediatas, sustitución, por partes, fracciones simples).
- Geometría: vectores en R³, ecuaciones de rectas y planos, posiciones relativas, distancias y ángulos.
- Distribuye el tiempo proporcionalmente entre los problemas según su puntuación.
- Comprueba siempre tus resultados: signos, unidades, coherencia.
- Practica con exámenes de años anteriores cronometrados.