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11.1 Cónicas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola
Las cónicas son curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano. Son fundamentales en matemáticas y física.
Circunferencia
Ecuación centrada en (a, b) con radio r:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Ecuación general: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Centro: (-D/2, -E/2), Radio: √(D2/4 + E2/4 - F)
Elipse
Ecuación canónica (centro en el origen):
x2/a2 + y2/b2 = 1
Elementos: Semieje mayor a, semieje menor b
Focos: (±c, 0) si a > b, donde c2 = a2 - b2
Excentricidad: e = c/a (0 < e < 1)
Hipérbola
Ecuación canónica:
x2/a2 - y2/b2 = 1
Focos: (±c, 0), donde c2 = a2 + b2
Asíntotas: y = ±(b/a)x
Excentricidad: e = c/a (e > 1)
Parábola
Ecuación canónica (vértice en el origen):
y2 = 4px (eje horizontal)
x2 = 4py (eje vertical)
Foco: (p, 0) o (0, p)
Directriz: x = -p o y = -p
Excentricidad: e = 1
Ejemplo resuelto
Hallar los elementos de la elipse x2/25 + y2/9 = 1.
a2 = 25 => a = 5 (semieje mayor)
b2 = 9 => b = 3 (semieje menor)
c2 = 25 - 9 = 16 => c = 4
Focos: (4, 0) y (-4, 0)
Vértices: (±5, 0) y (0, ±3)
Excentricidad: e = 4/5 = 0,8
Ejemplo resuelto
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(1,2), B(3,4), C(5,2).
Sustituimos en x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0:
A: 1 + 4 + D + 2E + F = 0 => D + 2E + F = -5
B: 9 + 16 + 3D + 4E + F = 0 => 3D + 4E + F = -25
C: 25 + 4 + 5D + 2E + F = 0 => 5D + 2E + F = -29
Restando la 1.ª de la 2.ª: 2D + 2E = -20 => D + E = -10
Restando la 1.ª de la 3.ª: 4D = -24 => D = -6
E = -10 - (-6) = -4; F = -5 - D - 2E = -5 + 6 + 8 = 9
Comprobación: D=-6, 2E=-8, F=9: -6-8+9 = -5. Correcto.
Centro: (3, 2), r = √(9+4-9) = 2
(x-3)2 + (y-2)2 = 4
Ejercicios
1) Halla la ecuación de la circunferencia de centro (2,-3) y radio 5.
2) Identifica la cónica: 4x2 + 9y2 = 36. Halla sus elementos.
3) Halla las asíntotas de la hipérbola x2/16 - y2/9 = 1.
4) Determina el foco y la directriz de la parábola y2 = 12x.
5) Halla la ecuación de la elipse de focos (0, ±3) y semieje mayor 5.
Test de autoevaluación
1) La excentricidad de una circunferencia es:
a) 0 b) 1 c) Mayor que 1 d) Indefinida
2) En una elipse, la relación entre a, b y c es:
a) c2=a2+b2 b) a2=b2+c2 c) b2=a2+c2 d) a=b+c
3) Las asíntotas de x2/4 - y2/9 = 1 son:
a) y = ±(3/2)x b) y = ±(2/3)x c) y = ±x d) y = ±3x