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11.1 Cónicas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola
Las cónicas son curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano. Son fundamentales en matemáticas y física.
Circunferencia
Ecuación centrada en (a, b) con radio r:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Ecuación general: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Centro: (-D/2, -E/2), Radio: √(D2/4 + E2/4 - F)
Elipse
Ecuación canónica (centro en el origen):
x2/a2 + y2/b2 = 1
Elementos: Semieje mayor a, semieje menor b
Focos: (±c, 0) si a > b, donde c2 = a2 - b2
Excentricidad: e = c/a (0 < e < 1)
Hipérbola
Ecuación canónica:
x2/a2 - y2/b2 = 1
Focos: (±c, 0), donde c2 = a2 + b2
Asíntotas: y = ±(b/a)x
Excentricidad: e = c/a (e > 1)
Parábola
Ecuación canónica (vértice en el origen):
y2 = 4px (eje horizontal)
x2 = 4py (eje vertical)
Foco: (p, 0) o (0, p)
Directriz: x = -p o y = -p
Excentricidad: e = 1
Ejemplo resuelto
Hallar los elementos de la elipse x2/25 + y2/9 = 1.
a2 = 25 => a = 5 (semieje mayor)
b2 = 9 => b = 3 (semieje menor)
c2 = 25 - 9 = 16 => c = 4
Focos: (4, 0) y (-4, 0)
Vértices: (±5, 0) y (0, ±3)
Excentricidad: e = 4/5 = 0.8
Ejemplo resuelto
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(1,2), B(3,4), C(5,2).
Sustituimos en x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0:
A: 1 + 4 + D + 2E + F = 0 => D + 2E + F = -5
B: 9 + 16 + 3D + 4E + F = 0 => 3D + 4E + F = -25
C: 25 + 4 + 5D + 2E + F = 0 => 5D + 2E + F = -29
Restando 1a de 2a: 2D + 2E = -20 => D + E = -10
Restando 1a de 3a: 4D = -24 => D = -6
E = -10 - (-6) = -4; F = -5 + 6 + 8 = 9 => F = -5 -(-6) -2(-4) = -5+6+8 = 9
Comprobación: D=-6, 2E=-8, F=9: -6-8+9 = -5. Correcto.
Centro: (3, 2), r = √(9+4-9) = 2
(x-3)2 + (y-2)2 = 4
Ejercicios
1) Halla la ecuación de la circunferencia de centro (2,-3) y radio 5.
2) Identifica la cónica: 4x2 + 9y2 = 36. Halla sus elementos.
3) Halla las asíntotas de la hipérbola x2/16 - y2/9 = 1.
4) Determina el foco y la directriz de la parábola y2 = 12x.
5) Halla la ecuación de la elipse de focos (0, ±3) y semieje mayor 5.
Test de autoevaluación
1) La excentricidad de una circunferencia es:
a) 0 b) 1 c) Mayor que 1 d) Indefinida
2) En una elipse, la relación entre a, b y c es:
a) c2=a2+b2 b) a2=b2+c2 c) b2=a2+c2 d) a=b+c
3) Las asíntotas de x2/4 - y2/9 = 1 son:
a) y = ±(3/2)x b) y = ±(2/3)x c) y = ±x d) y = ±3x
Ampliación: Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola
La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las formas, las figuras, sus propiedades y sus medidas. Nos permite describir y comprender el espacio que nos rodea.
Los elementos básicos de la geometría son: el punto (no tiene dimensiones), la recta (serie infinita de puntos alineados), el segmento (parte de una recta limitada por dos puntos) y el angulo (región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común).
Los polígonos son figuras planas cerradas formadas por segmentos rectos. Se clasifican según su numero de lados: triangulo (3), cuadrilátero (4), pentágono (5), hexágono (6), heptágono (7), octógono (8)...
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados. El área es la medida de la superficie que ocupa la figura.
📌 RecuerdaLos conceptos clave de esta lección sobre Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola son fundamentales para tu progreso en la asignatura. Repasa esta sección tantas veces como necesites y no dudes en pedir ayuda a tu profesor si algo no te queda claro.
📘 EjemploPara comprender mejor Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola, piensa en una situación de tu vida cotidiana donde puedas aplicar lo aprendido. Por ejemplo, cuando vas al supermercado, cuando lees un libro, cuando observas la naturaleza o cuando practicas deporte. Conectar la teoría con la practica hace que el aprendizaje sea mas significativo y duradero.
✏️ Ejercicios1. Define con tus propias palabras el concepto de Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
2. Pon un ejemplo numérico de Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola y resuelvelo paso a paso.
3. Resuelve los siguientes problemas:
a) Si un libro cuesta 12 euros y compras 3, ¿cuanto pagas en total?
b) Tienes 100 euros y gastas 37. ¿Cuanto te queda?
c) Reparte 48 caramelos entre 6 niños por igual. ¿Cuantos le tocan a cada uno?
4. Completa la serie: 5, 10, 15, ___, ___, ___, 35, ___
5. Escribe tres situaciones de la vida real donde necesites usar Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
6. Calcula mentalmente: a) 25 + 75 = ___ b) 100 - 47 = ___ c) 8 x 7 = ___
7. Un tren sale a las 9:30 y tarda 2 horas y 15 minutos. ¿A que hora llega?
8. Ordena de menor a mayor: 345, 243, 534, 432, 325.
🎯 Actividad practicaPractica con problemas reales:
1. Busca en un folleto de supermercado los precios de 5 productos. Calcula cuanto costaría comprar 3 unidades de cada uno.
2. Mide tu habitación (largo y ancho) y calcula su perímetro y área.
3. Crea 5 problemas sobre Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola y resuelvelos. Luego, intercámbialos con un compañero para que los resuelva.
4. Cronometra cuanto tardas en resolver 10 operaciones de calculo mental. Repite mañana e intenta mejorar tu tiempo.
📋 Resumen de la lección- En esta lección hemos profundizado en Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
- Es importante comprender los conceptos básicos antes de avanzar a niveles mas complejos.
- La practica constante y la resolución de ejercicios son clave para afianzar lo aprendido.
- Las matemáticas están presentes en todos los ámbitos de la vida cotidiana.
- Revisa tus errores para aprender de ellos: equivocarse es parte del proceso de aprendizaje.