Tipos, operaciones, rango, inversa, aplicaciones económicas

Matrices: tipos, operaciones, rango, inversa y aplicaciones económicas

Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Una matriz de m filas y n columnas tiene dimensión m × n, y el elemento que está en la fila i y la columna j se escribe a_ij. Las matrices permiten organizar y operar con muchos datos a la vez: precios, cantidades, producciones, flujos entre sectores económicos…

1. Tipos de matrices

• Matriz fila (1 × n) y matriz columna (m × 1).
• Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas (n × n). Sus elementos a₁₁, a₂₂, …, a_nn forman la diagonal principal.
• Matriz nula: todos sus elementos son 0.
• Matriz diagonal: cuadrada, con ceros fuera de la diagonal principal. Si además los elementos de la diagonal son 1, es la matriz identidad I.
• Matriz triangular (superior o inferior): cuadrada, con ceros por debajo (o por encima) de la diagonal principal.
• Matriz traspuesta A^t: se obtiene cambiando filas por columnas. Si A = A^t, la matriz es simétrica.

2. Operaciones

• Suma y resta: solo entre matrices de la misma dimensión; se suman elemento a elemento.
• Producto por un número: se multiplica cada elemento por ese número.
• Producto de matrices: A·B solo existe si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Si A es m × n y B es n × p, A·B es m × p. Cada elemento se obtiene multiplicando una fila de A por una columna de B y sumando los productos.

Cuidado: el producto de matrices no es conmutativo; en general, A·B ≠ B·A.

3. Rango

El rango de una matriz es el número de filas (o de columnas) linealmente independientes, es decir, que no se pueden obtener como combinación de las demás. Se calcula por el método de Gauss: se hacen ceros por debajo de la diagonal con operaciones entre filas, y el rango es el número de filas no nulas que quedan.

4. Matriz inversa

Una matriz cuadrada A tiene inversa A⁻¹ si A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Existe si y solo si su determinante es distinto de 0 (equivalentemente, si su rango es máximo). Para una matriz 2 × 2:

Si A = (a b ; c d) con |A| = ad − bc ≠ 0, entonces A⁻¹ = (1/|A|)·(d −b ; −c a).

Para matrices mayores se usa el método de Gauss-Jordan o la fórmula de la adjunta: A⁻¹ = (1/|A|)·(Adj A)^t. Las inversas sirven para resolver ecuaciones matriciales: si A·X = B y A tiene inversa, X = A⁻¹·B.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (inversa). Halla la inversa de A = (2 1 ; 5 3).

• |A| = 2·3 − 1·5 = 1 ≠ 0, así que existe la inversa.
• A⁻¹ = (1/1)·(3 −1 ; −5 2) = (3 −1 ; −5 2).
• Comprobación: A·A⁻¹ = (2·3 + 1·(−5) 2·(−1) + 1·2 ; 5·3 + 3·(−5) 5·(−1) + 3·2) = (1 0 ; 0 1) = I.

Ejemplo 2 (rango). Halla el rango de B = (1 2 3 ; 2 4 6 ; 1 0 1).

• F2 − 2·F1 → (0 0 0); F3 − F1 → (0 −2 −2).
• Quedan dos filas no nulas: (1 2 3) y (0 −2 −2). Por tanto, rango(B) = 2. La segunda fila era el doble de la primera.

Ejemplo 3 (aplicación económica). Dos tiendas compran dos productos, P y Q. La tienda 1 compra 10 unidades de P y 20 de Q; la tienda 2 compra 5 de P y 8 de Q. Cada unidad de P cuesta 3 € y cada unidad de Q, 2 €. ¿Cuánto gasta cada tienda?

• Matriz de cantidades C = (10 20 ; 5 8) y matriz columna de precios p = (3 ; 2).
• C·p = (10·3 + 20·2 ; 5·3 + 8·2) = (70 ; 31).
• La tienda 1 gasta 70 € y la tienda 2, 31 €.

Ejercicios