Tipos, operaciones, rango, inversa, aplicaciones económicas - Ejercicios y resumen

Introducción

Las matrices permiten ordenar datos en filas y columnas y operar con ellos de forma compacta. En esta lección repasamos sus tipos, las operaciones, el rango, la matriz inversa y su uso en problemas económicos, contenidos habituales en la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.

Explicación

Una matriz de dimensión m × n tiene m filas y n columnas; a_ij es el elemento de la fila i y la columna j.

Tipos de matrices:

• Fila (1 × n), columna (m × 1) y cuadrada (n × n).
• Nula: todos sus elementos son 0.
• Diagonal: cuadrada con ceros fuera de la diagonal principal; la identidad I tiene unos en la diagonal.
• Triangular superior o inferior.
• Traspuesta A^t: se intercambian filas por columnas. A es simétrica si A^t = A.

Operaciones:

• Suma: solo entre matrices de la misma dimensión, elemento a elemento.
• Producto por un número: se multiplica cada elemento.
• Producto de matrices: A (m × n) por B (n × p) da una matriz m × p; cada elemento es fila de A por columna de B. El producto no es conmutativo: en general A·B ≠ B·A.

Rango: es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. Se calcula por el método de Gauss (haciendo ceros y contando las filas no nulas que quedan) o por determinantes (el orden del mayor menor no nulo).

Matriz inversa: A⁻¹ cumple A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Solo existe si A es cuadrada y |A| ≠ 0. Para una matriz 2 × 2:

si A = (a b; c d), entonces A⁻¹ = (1/|A|) · (d −b; −c a), con |A| = ad − bc.

En general, A⁻¹ = (1/|A|) · (Adj A)^t. Las inversas sirven para resolver ecuaciones matriciales: si A·X = B, entonces X = A⁻¹·B (multiplicando por la izquierda).

Propiedades útiles: (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ y (A^t)^t = A. Si X·A = B, entonces X = B·A⁻¹ (multiplicando por la derecha).

Aplicaciones económicas: una matriz puede recoger las unidades que vende cada tienda de cada producto, y otra los precios; su producto da los ingresos de cada tienda. También se usan en modelos de producción y en tablas input-output.

Ejemplo

1. Inversa. Calcula la inversa de A = (2 1; 5 3).

|A| = 2·3 − 1·5 = 1 ≠ 0, así que existe. A⁻¹ = (1/1)·(3 −1; −5 2) = (3 −1; −5 2). Comprobación: A·A⁻¹ = (6−5 −2+2; 15−15 −5+6) = (1 0; 0 1) = I.

2. Aplicación económica. Dos tiendas venden camisetas y pantalones. La matriz de ventas de un día es V = (1 2; 3 4): la tienda 1 vende 1 camiseta y 2 pantalones, y la tienda 2, 3 camisetas y 4 pantalones. Los precios forman la matriz columna P = (10; 25), en euros. Ingresos: V·P = (1·10 + 2·25; 3·10 + 4·25) = (60; 130). La tienda 1 ingresa 60 € y la tienda 2, 130 €.

Ejercicios