Primitivas, integral definida, Barrow, área

Primitivas, integral definida, regla de Barrow y cálculo de áreas

La integración es el proceso inverso de la derivación. Nos permite recuperar una función a partir de su derivada y, sobre todo, calcular áreas de regiones limitadas por curvas, algo con muchas aplicaciones en economía (ingresos acumulados, excedente del consumidor…).

1. Primitivas e integral indefinida

Una función F(x) es una primitiva de f(x) si F′(x) = f(x). Si F es una primitiva, también lo es F(x) + C para cualquier constante C. El conjunto de todas las primitivas es la integral indefinida: ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Integrales inmediatas más usadas:

Propiedades: ∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx, y ∫ k·f dx = k·∫ f dx. Es decir, se integra término a término y las constantes que multiplican salen fuera.

2. Integral definida y regla de Barrow

Si f es continua en [a, b], la integral definida ∫_a^b f(x) dx mide el área «con signo» entre la gráfica de f y el eje OX: cuenta positiva el área por encima del eje y negativa el área por debajo.

La regla de Barrow permite calcularla: si F es una primitiva de f,

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

3. Cálculo de áreas

• Área entre una curva y el eje OX: se hallan los puntos de corte de f con el eje (f(x) = 0) dentro del intervalo; se integra en cada tramo y se suman los valores absolutos de los resultados.
• Área entre dos curvas f y g: se hallan los puntos de corte (f(x) = g(x)) y se integra la diferencia «función de arriba − función de abajo» entre ellos.

Un área nunca puede ser negativa: si una integral sale negativa es porque la región está por debajo del eje, y su área es el valor absoluto.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Calcula ∫ (3x² − 4x + 5) dx.

Integramos término a término: 3·x³/3 − 4·x²/2 + 5x + C = x³ − 2x² + 5x + C. Comprobación: al derivar se obtiene 3x² − 4x + 5.

Ejemplo 2. Halla la primitiva de f(x) = 2x que pasa por el punto (1, 5).

F(x) = x² + C. Como F(1) = 5: 1 + C = 5, luego C = 4 y F(x) = x² + 4.

Ejemplo 3 (Barrow). Calcula ∫₁³ (2x + 1) dx.

Una primitiva es F(x) = x² + x. Entonces F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10.

Ejemplo 4 (área con el eje OX). Calcula el área encerrada entre f(x) = x² − 4x y el eje OX.

• Cortes: x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0 → x = 0 y x = 4.
• ∫₀⁴ (x² − 4x) dx = [x³/3 − 2x²]₀⁴ = (64/3 − 32) − 0 = −32/3.
• La integral es negativa porque la parábola está por debajo del eje entre 0 y 4. Área = 32/3 u² ≈ 10,67 u².

Ejemplo 5 (área entre dos curvas). Calcula el área entre y = x e y = x².

• Cortes: x = x² → x = 0 y x = 1. En (0, 1), la recta está por encima (por ejemplo, en x = 0,5: 0,5 > 0,25).
• Área = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6 u².

Errores frecuentes

• Olvidar la constante C en la integral indefinida.
• Aplicar la regla xⁿ⁺¹/(n + 1) a 1/x: para n = −1 la primitiva es ln|x|.
• Calcular el área integrando de golpe una función que cambia de signo en el intervalo: las partes positiva y negativa se compensan y el resultado es menor que el área real. Hay que separar por los puntos de corte.
• Restar al revés las funciones en el área entre curvas: si sale negativo, se ha restado «abajo − arriba»; el área es el valor absoluto.

Ejercicios