Primitivas, integral definida, Barrow, área - Ejercicios y resumen

Introducción

Integrar es el proceso inverso de derivar. En esta lección repasamos las primitivas (integrales indefinidas), la integral definida, la regla de Barrow y su aplicación más importante: el cálculo de áreas de recintos limitados por curvas.

Explicación

Primitiva. F(x) es una primitiva de f(x) si F'(x) = f(x). Si F es una primitiva, todas las demás son F(x) + C, con C constante; ese conjunto se escribe ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Integrales inmediatas más usadas:

• ∫ k dx = kx + C.
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, si n ≠ −1.
• ∫ 1/x dx = ln|x| + C.
• ∫ e^x dx = e^x + C.
• Linealidad: ∫ (a·f + b·g) dx = a·∫ f dx + b·∫ g dx.

Para comprobar una primitiva basta con derivarla: debe salir la función de partida.

Integral definida y regla de Barrow. Si f es continua en [a, b] y F es una primitiva de f, entonces ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Aquí no se pone la constante C, porque se anula al restar.

Interpretación geométrica. Si f(x) ≥ 0 en [a, b], la integral definida es el área del recinto limitado por la gráfica, el eje OX y las rectas x = a y x = b. Si f es negativa en una parte del intervalo, la integral da un valor negativo en esa parte: la integral definida es un área «con signo», no siempre un área.

Cálculo de áreas paso a paso:

• Se buscan los puntos de corte de f con el eje OX dentro de [a, b] (resolviendo f(x) = 0).
• Se divide el intervalo por esos puntos y se calcula la integral en cada trozo.
• Se suman los valores absolutos de esas integrales.
• Para el área entre dos curvas f y g se hace lo mismo con la función diferencia f − g.

Propiedades de la integral definida. ∫_a^a f(x) dx = 0; al intercambiar los límites cambia el signo; y si c está entre a y b, ∫_a^b = ∫_a^c + ∫_c^b, que es justo lo que se usa al partir el intervalo.

Ejemplo

Ejemplo 1. ∫ (6x² − 4x + 3) dx = 6·x³/3 − 4·x²/2 + 3x + C = 2x³ − 2x² + 3x + C.

Ejemplo 2. ∫₁³ (2x + 1) dx. Una primitiva es F(x) = x² + x, así que F(3) − F(1) = 12 − 2 = 10.

Ejemplo 3. Área del recinto limitado por f(x) = x² − 4, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 3.

• Cortes con OX: x² − 4 = 0 → x = ±2; dentro de [0, 3] solo está x = 2.
• Primitiva: F(x) = x³/3 − 4x.
• ∫₀² = F(2) − F(0) = 8/3 − 8 = −16/3 (la curva está por debajo del eje).
• ∫₂³ = F(3) − F(2) = (9 − 12) − (8/3 − 8) = −3 + 16/3 = 7/3.
• Área = 16/3 + 7/3 = 23/3 ≈ 7,67 u². Fíjate en que ∫₀³ f(x) dx = −16/3 + 7/3 = −3, que no es el área.

Ejercicios