Muestreo, intervalo de confianza media y proporción

Muestreo e intervalos de confianza para la media y la proporción

Casi nunca podemos estudiar a toda una población (todos los votantes de un país, todas las piezas que fabrica una empresa). Por eso se estudia una muestra y, a partir de ella, se estiman los parámetros de la población. Esta parte de la estadística se llama inferencia estadística.

1. Tipos de muestreo

• Aleatorio simple: todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos (por ejemplo, por sorteo).
• Sistemático: se elige al azar el primer individuo y después se toman los demás a intervalos fijos (uno de cada k).
• Estratificado: la población se divide en grupos o estratos (edad, curso, zona…) y se toma de cada estrato un número de individuos, normalmente proporcional a su tamaño.
• Por conglomerados: se eligen al azar grupos completos (clases, barrios) y se estudian todos sus individuos.

Ejemplo de muestreo estratificado proporcional: un instituto tiene 300 alumnos en 1.º, 200 en 2.º y 100 en 3.º (600 en total) y queremos una muestra de 60. Como 60/600 = 1/10, elegimos 30 de 1.º, 20 de 2.º y 10 de 3.º.

2. Distribución de la media y de la proporción muestrales

Si la población tiene media μ y desviación típica σ, y la muestra es de tamaño n, la media muestral x̄ sigue (si la población es normal, o si n ≥ 30) una distribución N(μ, σ/√n). Del mismo modo, para n grande, la proporción muestral p̂ sigue aproximadamente una N(p, √(p(1 − p)/n)).

3. Intervalos de confianza

Un intervalo de confianza es un intervalo que contiene el parámetro desconocido con una probabilidad (nivel de confianza) 1 − α fijada de antemano. Los valores críticos más usados son:

• Para la media: (x̄ − z_α/2·σ/√n ; x̄ + z_α/2·σ/√n)
• Para la proporción: (p̂ − z_α/2·√(p̂(1 − p̂)/n) ; p̂ + z_α/2·√(p̂(1 − p̂)/n))

La cantidad que sumamos y restamos es el error máximo admisible E. Para la media, E = z_α/2·σ/√n. De aquí se observa que:

• Si aumenta el nivel de confianza, aumenta z_α/2 y el intervalo es más ancho.
• Si aumenta el tamaño de la muestra n, el error disminuye y el intervalo es más estrecho.
• Despejando n se obtiene el tamaño mínimo de la muestra para no superar un error E: n ≥ (z_α/2·σ/E)², redondeando siempre hacia arriba.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (media). La estatura de los alumnos de un centro tiene σ = 8 cm. En una muestra de 64 alumnos, la media es x̄ = 172 cm. Halla el intervalo de confianza al 95 % para la estatura media.

• z_α/2 = 1,96; σ/√n = 8/8 = 1.
• E = 1,96·1 = 1,96.
• Intervalo: (172 − 1,96; 172 + 1,96) = (170,04; 173,96) cm.

Ejemplo 2 (proporción). En una encuesta a 500 personas, 160 afirman leer al menos un libro al mes. Halla el intervalo de confianza al 95 % para la proporción de lectores.

• p̂ = 160/500 = 0,32.
• √(0,32·0,68/500) ≈ 0,0209; E = 1,96·0,0209 ≈ 0,041.
• Intervalo: (0,32 − 0,041; 0,32 + 0,041) = (0,279; 0,361), es decir, entre el 27,9 % y el 36,1 %.

Ejemplo 3 (tamaño de muestra). El tiempo de espera en una ventanilla tiene σ = 12 minutos. ¿Cuántas personas hay que observar para estimar el tiempo medio con un error menor de 2 minutos y una confianza del 99 %?

• n ≥ (2,575·12/2)² = 15,45² ≈ 238,7.
• Redondeando hacia arriba: n = 239 personas.

Errores frecuentes

• Confundir σ (desviación típica de la población) con σ/√n (desviación típica de la media muestral).
• Redondear hacia abajo el tamaño de la muestra: si sale 96,04, hacen falta 97 individuos, porque con 96 el error superaría el pedido.
• Expresar el intervalo de una proporción en tanto por ciento sin decirlo, o mezclar tantos por uno y por ciento en el mismo cálculo.
• Interpretar el 95 % como «el 95 % de los individuos está en el intervalo»: el intervalo estima el parámetro (la media o la proporción de la población), no los valores individuales.

Ejercicios