Muestreo, intervalo de confianza media y proporción - Ejercicios y resumen

Introducción

Casi nunca podemos estudiar a toda una población. Por eso se toma una muestra y, a partir de ella, se estima el valor desconocido de la población (su media o su proporción) mediante un intervalo de confianza. En esta lección repasamos el muestreo, los intervalos para la media y para la proporción, el error máximo y el tamaño de la muestra.

Explicación

Muestreo. Una muestra es una parte de la población. Para que sea representativa se elige de forma aleatoria. Tipos principales: aleatorio simple (todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos), sistemático (se elige uno al azar y después uno de cada k) y estratificado (la población se divide en grupos o estratos y se toma de cada uno una parte, normalmente proporcional a su tamaño).

Distribución de la media muestral. Si la población sigue una N(μ, σ), o si n ≥ 30, la media de las muestras de tamaño n sigue (al menos aproximadamente) una N(μ, σ/√n).

Intervalo de confianza para la media (σ conocida):

• ( x̄ − z_α/2·σ/√n ; x̄ + z_α/2·σ/√n ).
• Valores críticos: 90 % → z_α/2 = 1,645; 95 % → 1,96; 99 % → 2,575.
• El error máximo es E = z_α/2·σ/√n. Aumenta con el nivel de confianza y disminuye al aumentar n.

Intervalo de confianza para la proporción. Si p̂ es la proporción observada en una muestra grande:

• ( p̂ − z_α/2·√(p̂(1 − p̂)/n) ; p̂ + z_α/2·√(p̂(1 − p̂)/n) ).

Tamaño de la muestra. Despejando n del error: para la media, n = (z_α/2·σ/E)²; para la proporción, n = z_α/2²·p(1 − p)/E² (si no se conoce p, se toma p = 0,5, el caso más desfavorable). El resultado se redondea siempre hacia arriba.

Interpretación. Un intervalo al 95 % significa que, si se repitiera el muestreo muchas veces, el 95 % de los intervalos así construidos contendría el verdadero valor de la población. No significa que la media poblacional «se mueva»: es un valor fijo y desconocido; lo que varía de una muestra a otra es el intervalo.

Ejemplo

Ejemplo 1 (media). En una muestra de 64 estudiantes el tiempo medio diario de estudio es x̄ = 3 horas. Se sabe que σ = 0,8 horas. Intervalo al 95 %: E = 1,96·0,8/√64 = 1,96·0,1 = 0,196. El intervalo es (2,804 ; 3,196) horas.

Ejemplo 2 (proporción). De 400 personas encuestadas, 120 usan el transporte público. p̂ = 120/400 = 0,3. Al 95 %: E = 1,96·√(0,3·0,7/400) ≈ 1,96·0,0229 ≈ 0,045. El intervalo es (0,255 ; 0,345), es decir, entre el 25,5 % y el 34,5 %.

Ejemplo 3 (tamaño). En el ejemplo 1, ¿cuántos estudiantes harían falta para que el error fuese como máximo 0,1 horas al 95 %? n = (1,96·0,8/0,1)² = 245,86, así que hacen falta 246 estudiantes.

Ejercicios