Hipótesis nula, estadístico, p-valor, errores

Hipótesis nula, estadístico, p-valor y errores

Un contraste de hipótesis es un procedimiento de la estadística inferencial que permite decidir, a partir de los datos de una muestra, si una afirmación sobre un parámetro de la población (una media μ o una proporción p) es compatible con lo observado o si, por el contrario, los datos la contradicen de forma clara. Por ejemplo: una empresa afirma que sus paquetes de café pesan de media 500 g; tomamos una muestra y queremos saber si las diferencias que vemos se deben al azar del muestreo o a que la afirmación es falsa.

1. Hipótesis nula e hipótesis alternativa

• Hipótesis nula (H₀): es la afirmación que se pone a prueba y que se mantiene mientras los datos no aporten pruebas suficientes en contra. Siempre contiene la igualdad: μ = μ₀, μ ≥ μ₀, μ ≤ μ₀, p = p₀…
• Hipótesis alternativa (H₁): es la afirmación contraria, la que aceptaremos si rechazamos H₀: μ ≠ μ₀, μ < μ₀ o μ > μ₀.

Si H₁ es del tipo «≠», el contraste es bilateral (la región de rechazo está en las dos colas de la normal). Si es del tipo «<» o «>», el contraste es unilateral (la región de rechazo está en una sola cola).

2. Nivel de significación y región crítica

El nivel de significación α es la probabilidad máxima que aceptamos de rechazar H₀ cuando en realidad es cierta. Los valores habituales son α = 0,05, α = 0,01 y α = 0,10. A partir de α se obtienen los valores críticos de la normal tipificada N(0, 1):

La región crítica (o de rechazo) es el conjunto de valores del estadístico que nos llevan a rechazar H₀; el resto forma la región de aceptación.

3. El estadístico de contraste

Es el valor que calculamos con los datos de la muestra y que, si H₀ es cierta, sigue una distribución N(0, 1):

• Para la media (σ conocida o n grande): z = (x̄ − μ₀) / (σ/√n)
• Para la proporción (n grande): z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀)/n)

Si z cae en la región crítica, rechazamos H₀; si no, no tenemos pruebas suficientes para rechazarla.

4. El p-valor

El p-valor es la probabilidad de obtener, suponiendo que H₀ es cierta, un resultado del estadístico tan extremo o más que el observado. Cuanto más pequeño es, más pruebas hay contra H₀. La regla de decisión es muy sencilla:

• Si p-valor < α → se rechaza H₀.
• Si p-valor ≥ α → no se rechaza H₀.

En un contraste bilateral, el p-valor es 2·P(Z > |z|); en uno unilateral, es la probabilidad de la cola correspondiente.

5. Errores de tipo I y de tipo II

Al disminuir α (ser más exigentes para rechazar) disminuye el riesgo de error de tipo I, pero, con el mismo tamaño de muestra, aumenta el de error de tipo II. La única forma de reducir los dos a la vez es aumentar el tamaño de la muestra.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (media, bilateral). Una envasadora afirma que sus paquetes pesan de media 500 g, con σ = 20 g. Una muestra de 64 paquetes da x̄ = 495 g. ¿Se puede aceptar la afirmación con α = 0,05?

• H₀: μ = 500; H₁: μ ≠ 500 (bilateral).
• Valor crítico: z_α/2 = 1,96. Región de aceptación: (−1,96; 1,96).
• Estadístico: z = (495 − 500) / (20/√64) = −5 / 2,5 = −2.
• Como −2 < −1,96, z cae en la región crítica: se rechaza H₀. Con un 5 % de significación, el peso medio no es 500 g.
• Con el p-valor: 2·P(Z > 2) = 2·0,0228 = 0,0456 < 0,05. Misma conclusión.

Ejemplo 2 (proporción, unilateral). Un partido cree que más del 40 % de los votantes lo apoya. En una encuesta a 400 personas, 176 dicen que lo votarán. Contrasta con α = 0,05.

• H₀: p ≤ 0,40; H₁: p > 0,40 (unilateral derecho).
• p̂ = 176/400 = 0,44. Valor crítico: z_α = 1,645.
• z = (0,44 − 0,40) / √(0,40·0,60/400) = 0,04 / 0,0245 ≈ 1,63.
• Como 1,63 < 1,645, no se rechaza H₀: la muestra no aporta pruebas suficientes de que el apoyo supere el 40 %. El p-valor es P(Z > 1,63) ≈ 0,0516, apenas por encima de 0,05.

Ejemplo 3 (interpretar los errores). En el ejemplo 1, cometeríamos un error de tipo I si el peso medio fuera realmente 500 g y, por mala suerte en la muestra, concluyéramos que no lo es. En el ejemplo 2, cometeríamos un error de tipo II si el apoyo real fuera mayor del 40 % y no lo hubiéramos detectado.

Ejercicios