Hipótesis nula, estadístico, p-valor, errores - Ejercicios y resumen

Contraste de hipótesis: resumen y ejercicios resueltos

Esta lección repasa el contraste de hipótesis para la media y para la proporción y lo aplica en problemas del tipo que aparecen en la PAU de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.

Resumen del procedimiento

1. Plantear las hipótesis. H₀ contiene siempre la igualdad (=, ≤, ≥); H₁ es la contraria (≠, >, <).
2. Fijar el nivel de significación α y decidir si el contraste es bilateral (H₁ con ≠) o unilateral (H₁ con < o >).
3. Buscar el valor crítico en la tabla N(0, 1): z_α/2 si es bilateral, z_α si es unilateral. Por ejemplo, para α = 0,05: 1,96 (bilateral) y 1,645 (unilateral).
4. Calcular el estadístico: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) para la media, o z = (p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n) para la proporción.
5. Decidir: si z cae en la región crítica (o si p-valor < α), se rechaza H₀; en caso contrario, no se rechaza.
6. Interpretar la conclusión en el contexto del problema, con una frase completa.

Recuerda que «no rechazar H₀» no significa demostrar que es cierta: solo significa que la muestra no aporta pruebas suficientes en su contra. Y recuerda también los dos errores posibles: el de tipo I (rechazar H₀ siendo cierta, con probabilidad α) y el de tipo II (no rechazar H₀ siendo falsa, con probabilidad β).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (media, unilateral izquierdo). Un fabricante asegura que sus bombillas duran, de media, al menos 1000 horas, con σ = 120 horas. Una asociación de consumidores analiza 100 bombillas y obtiene una duración media de 975 horas. Con α = 0,05, ¿hay motivos para dudar del fabricante?

• H₀: μ ≥ 1000; H₁: μ < 1000.
• Valor crítico (unilateral, α = 0,05): −1,645. Región crítica: z < −1,645.
• z = (975 − 1000)/(120/√100) = −25/12 ≈ −2,08.
• Como −2,08 < −1,645, se rechaza H₀: con un 5 % de significación, la duración media es inferior a 1000 horas. El p-valor es P(Z < −2,08) ≈ 0,019, menor que 0,05.

Ejemplo 2 (proporción, bilateral). Se quiere comprobar si una moneda está equilibrada. Se lanza 100 veces y salen 58 caras. Contrasta con α = 0,05.

• H₀: p = 0,5; H₁: p ≠ 0,5.
• Región de aceptación: (−1,96; 1,96).
• p̂ = 0,58; z = (0,58 − 0,5)/√(0,5·0,5/100) = 0,08/0,05 = 1,6.
• Como −1,96 < 1,6 < 1,96, no se rechaza H₀: no hay pruebas de que la moneda esté trucada. El p-valor es 2·P(Z > 1,6) ≈ 0,11 > 0,05.

Ejemplo 3 (región de aceptación para la media muestral). Se contrasta H₀: μ = 50 frente a H₁: μ ≠ 50, con σ = 10, n = 25 y α = 0,05. ¿Entre qué valores debe estar x̄ para no rechazar H₀?

• Error típico: σ/√n = 10/5 = 2.
• Región de aceptación: 50 ± 1,96·2 = 50 ± 3,92, es decir, (46,08; 53,92).
• Si la muestra diera x̄ = 54, se rechazaría H₀; si diera x̄ = 48, no se rechazaría.

Ejemplo 4 (efecto de α). En el ejemplo 1, si se trabajara con α = 0,01, el valor crítico unilateral sería −2,33. Como −2,08 > −2,33, ya no se rechazaría H₀. Con un nivel más exigente cuesta más rechazar: baja el riesgo de error de tipo I y sube el de tipo II.

Errores frecuentes

• Poner la igualdad en H₁: la igualdad va siempre en H₀.
• Usar en la proporción la p̂ de la muestra en el denominador del estadístico: en el contraste se usa p₀, el valor de H₀.
• Usar 1,96 en un contraste unilateral con α = 0,05: el valor correcto es 1,645.
• Concluir «H₀ es verdadera» cuando no se rechaza: lo correcto es decir que no hay pruebas suficientes para rechazarla.
• Olvidar la interpretación final en el contexto del enunciado, que en la PAU también puntúa.

Ejercicios