Función densidad, tipificación, tabla, probabilidades

Función de densidad, tipificación, tabla y cálculo de probabilidades

Las variables aleatorias continuas (estaturas, pesos, tiempos, notas con decimales…) pueden tomar cualquier valor de un intervalo. Para ellas la probabilidad de un valor concreto es 0, y lo que se calcula es la probabilidad de que X esté en un intervalo.

1. Función de densidad

Una función de densidad f(x) cumple dos condiciones: f(x) ≥ 0 para todo x, y el área total entre su gráfica y el eje OX es 1. La probabilidad P(a ≤ X ≤ b) es el área bajo la curva entre a y b. Por eso, en una variable continua, P(X ≤ a) = P(X < a).

2. La distribución normal N(μ, σ)

Es la distribución continua más importante. Su gráfica es la campana de Gauss: simétrica respecto de la media μ, con el máximo en x = μ, y más o menos ancha según la desviación típica σ. Algunas referencias útiles: entre μ − σ y μ + σ queda aproximadamente el 68 % de los datos; entre μ − 2σ y μ + 2σ, alrededor del 95 %; y entre μ − 3σ y μ + 3σ, el 99,7 %.

3. Tipificación

Como hay infinitas normales, solo se tabula la normal estándar Z ~ N(0, 1). Cualquier X ~ N(μ, σ) se transforma en ella mediante la tipificación:

Z = (X − μ)/σ

4. Uso de la tabla

La tabla da P(Z ≤ k) para k ≥ 0. Los demás casos se obtienen con la simetría y el complementario:

• P(Z > k) = 1 − P(Z ≤ k).
• P(Z ≤ −k) = P(Z ≥ k) = 1 − P(Z ≤ k).
• P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a).
• P(−k ≤ Z ≤ k) = 2 · P(Z ≤ k) − 1.

También se usa al revés: dada una probabilidad, se busca en el interior de la tabla y se lee el valor k.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (normal estándar). Con la tabla, P(Z ≤ 1,25) = 0,8944. Entonces:

• P(Z > 1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056.
• P(Z ≤ −1,25) = P(Z ≥ 1,25) = 0,1056.
• P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 2 · 0,8413 − 1 = 0,6826.

Ejemplo 2 (tipificar). La estatura de los alumnos de un centro sigue una N(170, 8) en cm.

• P(X ≤ 182) = P(Z ≤ (182 − 170)/8) = P(Z ≤ 1,5) = 0,9332. Mide como mucho 182 cm el 93,32 % de los alumnos.
• P(162 ≤ X ≤ 178) = P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 0,6826.

Ejemplo 3 (problema inverso). En la misma población, ¿qué estatura supera solo el 10 % de los alumnos? Buscamos k tal que P(Z ≤ k) = 0,90. En la tabla, el valor más próximo es 0,8997, que corresponde a k ≈ 1,28. Deshacemos la tipificación: x = μ + k · σ = 170 + 1,28 · 8 ≈ 180,24 cm.

Ejemplo 4 (valores por debajo de la media). Con la misma N(170, 8), P(X < 160) = P(Z < (160 − 170)/8) = P(Z < −1,25) = 1 − P(Z ≤ 1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056. Es decir, alrededor del 10,6 % de los alumnos mide menos de 160 cm.

Ejemplo 5 (comparar con la tipificación). Ana saca un 7 en un examen cuyas notas siguen una N(6, 1); Luis saca un 8 en otro examen con notas N(7, 2). ¿Quién ha obtenido mejor resultado en relación con su grupo? Tipificamos: Ana, z = (7 − 6)/1 = 1; Luis, z = (8 − 7)/2 = 0,5. Ana está una desviación típica por encima de su media y Luis solo media, así que el resultado de Ana es relativamente mejor, aunque su nota sea menor.

Ejemplo 6 (densidad sencilla). Si X tiene densidad f(x) = 1/4 en el intervalo [0, 4] y 0 fuera de él (distribución uniforme), el área total es 4 · 1/4 = 1, así que es una densidad válida. P(1 ≤ X ≤ 3) es el área de un rectángulo de base 2 y altura 1/4: 0,5.

Errores frecuentes: dividir entre la varianza en lugar de entre la desviación típica al tipificar; buscar en la tabla un valor negativo (la tabla solo trae valores positivos: hay que usar la simetría); y olvidar restar de 1 cuando se pide una probabilidad «mayor que». Un buen hábito es dibujar la campana y sombrear la zona pedida antes de calcular: así se ve enseguida si el resultado debe ser mayor o menor que 0,5.

Ejercicios