Función densidad, tipificación, tabla, probabilidades - Ejercicios y resumen
Estás viendo el contenido de esta lección en modo lectura. Los ejercicios no se corrigen aquí — accede con una cuenta gratuita para practicar con corrección automática y guardar tu progreso.
Introducción
Muchas variables reales (estaturas, tiempos, pesos, notas) son continuas: pueden tomar cualquier valor de un intervalo. Para ellas no se habla de la probabilidad de cada valor, sino de la probabilidad de intervalos, que se obtiene con la función de densidad. La más importante es la distribución normal, que se maneja tipificando y usando la tabla de la N(0, 1).
Explicación
Función de densidad. Una variable aleatoria continua X tiene una función de densidad f(x) que cumple:
f(x) ≥ 0 para todo x.
El área total entre la gráfica de f y el eje OX es 1.
P(a ≤ X ≤ b) es el área bajo f entre a y b.
Consecuencia importante: en una variable continua, P(X = a) = 0, así que da igual escribir < o ≤.
Distribución normal N(μ, σ). Su densidad tiene forma de campana, simétrica respecto a la media μ; la desviación típica σ indica lo «ancha» que es la campana. La normal estándar es Z ~ N(0, 1).
Tipificación. Si X ~ N(μ, σ), la variable Z = (X − μ)/σ sigue una N(0, 1). Así cualquier probabilidad de una normal se pasa a la N(0, 1), que es la que aparece en la tabla.
Uso de la tabla. La tabla da P(Z ≤ z) para z ≥ 0. Los demás casos se obtienen por simetría y por el complementario:
P(Z ≥ z) = 1 − P(Z ≤ z).
P(Z ≤ −z) = P(Z ≥ z) = 1 − P(Z ≤ z).
P(a ≤ Z ≤ b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a).
P(Z ≤ 0) = 0,5, porque la curva es simétrica respecto a 0.
Valores de la tabla que conviene recordar: P(Z ≤ 1) = 0,8413; P(Z ≤ 1,5) = 0,9332; P(Z ≤ 1,96) = 0,9750; P(Z ≤ 2) = 0,9772.
Uso inverso de la tabla. A veces se conoce la probabilidad y se busca el valor: por ejemplo, el k tal que P(Z ≤ k) = 0,975 es k = 1,96. Para volver a la variable original se deshace la tipificación: x = μ + z·σ. Como referencia, en cualquier normal aproximadamente el 68 % de los valores está entre μ − σ y μ + σ, y el 95 % entre μ − 2σ y μ + 2σ.
Ejemplo
Ejemplo. La estatura de un grupo de adultos sigue una N(170, 8) en cm.
P(160 ≤ X ≤ 182) = 0,9332 − 0,1056 = 0,8276. Es decir, alrededor del 82,8 % mide entre 160 y 182 cm.
Ejercicios
Si Z ~ N(0, 1), ¿cuánto vale P(Z ≥ 1)?
Si X ~ N(50, 10), ¿cuánto vale P(X ≤ 35)?
Material adicional
Ejemplos resueltos y ejercicios: Normal
Ejemplo resuelto Ejemplo 1: Planteamiento del problema de Normal. Paso 1: Identificar los datos del enunciado. Paso 2: Elegir la formula o método adecuado. Paso 3: Sustituir y resolver. Paso 4: Comprobar el resultado.
Ejemplo resuelto Ejemplo 2: Variante del ejercicio anterior con datos diferentes. Aplicamos el mismo procedimiento pero cambiando los valores para afianzar el método.
Ejemplo resuelto Ejemplo 3: Caso mas complejo que combina Normal con conceptos de temas anteriores. Requiere aplicar varios pasos y verificar la coherencia del resultado.
Ejercicios Ejercicios para practicar: 1. Resuelve aplicando directamente la teoría de Normal. 2. Plantea y resuelve un problema con los datos que se proporcionan. 3. Identifica el error en esta resolución y corrígelo. 4. Resuelve este ejercicio de nivel medio sobre Normal. 5. Problema de aplicación real: usa Normal para resolver una situación cotidiana. 6. Ejercicio inverso: dado el resultado, encuentra los datos iniciales. 7. Combina Normal con el tema anterior para resolver este problema. 8. Razona tu respuesta: explica cada paso que das. 9. Ejercicio de nivel avanzado sobre Normal. 10. Crea tu propio problema y resuelvelo.
✏️ Actividad de repaso
Repasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Función densidad, tipificacion, tabla, probabilidades - Ejercicios y resumen.
Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.
Publicidad
¿Quieres hacer los ejercicios y guardar tu progreso en Matemáticas CCSS II - 2.º Bachillerato?