Función de probabilidad, esperanza, desviación, aproximación

Función de probabilidad, esperanza, desviación y aproximación

Una variable aleatoria X asigna un número a cada resultado de un experimento aleatorio. Es discreta si toma valores aislados (número de caras, número de piezas defectuosas…) y continua si puede tomar cualquier valor de un intervalo (estatura, tiempo…). En esta lección estudiamos las discretas, la distribución binomial y su aproximación mediante la normal.

1. Función de probabilidad

Es la que asigna a cada valor x_i su probabilidad p_i = P(X = x_i). Debe cumplir que 0 ≤ p_i ≤ 1 y que la suma de todas las p_i es 1.

2. Esperanza, varianza y desviación típica

• Media o esperanza: μ = E[X] = Σ x_i · p_i. Es el valor medio que se obtendría repitiendo el experimento muchas veces.
• Varianza: σ² = Σ x_i² · p_i − μ².
• Desviación típica: σ = √σ². Mide la dispersión de los valores respecto de la media.

3. Distribución binomial B(n, p)

Aparece cuando se repite n veces, de forma independiente, un experimento con solo dos resultados: «éxito», con probabilidad p, y «fracaso», con probabilidad q = 1 − p. X cuenta el número de éxitos:

P(X = k) = C_n,k · p^k · q^n−k, para k = 0, 1, …, n.

Su media es μ = n · p y su desviación típica, σ = √(n · p · q).

4. Aproximación de la binomial por la normal

Cuando n es grande, calcular muchas probabilidades binomiales es muy laborioso. Si n · p ≥ 5 y n · q ≥ 5, la binomial B(n, p) se puede aproximar por una normal N(μ, σ) con μ = np y σ = √(npq). Como pasamos de una variable discreta a una continua, se aplica la corrección de continuidad: cada valor entero k se sustituye por el intervalo (k − 0,5; k + 0,5). Por ejemplo, P(X ≤ 45) ≈ P(X' ≤ 45,5) y P(X = 45) ≈ P(44,5 ≤ X' ≤ 45,5).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (variable discreta). X toma los valores 0, 1, 2 y 3 con probabilidades 0,1; 0,3; 0,4 y 0,2 (suman 1).

• μ = 0 · 0,1 + 1 · 0,3 + 2 · 0,4 + 3 · 0,2 = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7.
• Σ x² · p = 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7. σ² = 3,7 − 1,7² = 3,7 − 2,89 = 0,81; σ = 0,9.

Ejemplo 2 (binomial). Un jugador encesta el 70 % de sus tiros libres. Lanza 5. ¿Probabilidad de encestar exactamente 3?

X ~ B(5; 0,7). P(X = 3) = C_5,3 · 0,7³ · 0,3² = 10 · 0,343 · 0,09 = 0,3087. Media: μ = 5 · 0,7 = 3,5 canastas; σ = √(5 · 0,7 · 0,3) = √1,05 ≈ 1,02.

Ejemplo 3 (aproximación normal). El 40 % de los votantes de una ciudad apoya una propuesta. Se pregunta a 100 personas al azar. ¿Probabilidad de que la apoyen como mucho 45?

• X ~ B(100; 0,4). np = 40 ≥ 5 y nq = 60 ≥ 5, así que se puede aproximar.
• μ = 40 y σ = √(100 · 0,4 · 0,6) = √24 ≈ 4,90. X' ~ N(40; 4,90).
• P(X ≤ 45) ≈ P(X' ≤ 45,5) = P(Z ≤ (45,5 − 40)/4,90) = P(Z ≤ 1,12) = 0,8686 (tabla de la normal).

Ejemplo 4 (suceso contrario). Con el jugador del ejemplo 2, ¿qué probabilidad hay de que enceste al menos una vez en los 5 tiros? Es más rápido usar el contrario: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,3⁵ = 1 − 0,00243 = 0,99757.

Errores frecuentes: olvidar que q = 1 − p; usar la binomial cuando las repeticiones no son independientes (por ejemplo, extracciones sin reemplazamiento de un grupo pequeño); y olvidar la corrección de continuidad al aproximar por la normal.

Ejercicios