Función de probabilidad, esperanza, desviación, aproximación - Ejercicios y resumen

Introducción

Una variable aleatoria discreta asigna un número a cada resultado de un experimento aleatorio (por ejemplo, el número de caras al lanzar tres monedas). En esta lección repasamos su función de probabilidad, cómo calcular su esperanza (media) y su desviación típica, la distribución binomial y su aproximación por la distribución normal.

Explicación

Función de probabilidad. Si X toma los valores x₁, x₂, …, xₖ, su función de probabilidad asigna a cada valor su probabilidad pᵢ = P(X = xᵢ). Debe cumplir que cada pᵢ ≥ 0 y que p₁ + p₂ + … + pₖ = 1. Se suele presentar en una tabla.

Esperanza o media. μ = E(X) = Σ xᵢ·pᵢ. Es el valor medio que se obtendría al repetir el experimento muchísimas veces; no tiene por qué ser uno de los valores de X.

Varianza y desviación típica. σ² = Σ xᵢ²·pᵢ − μ², y la desviación típica es σ = √σ². Miden lo dispersos que están los valores respecto a la media.

Distribución binomial B(n, p). Se usa cuando se repite n veces, de forma independiente, un experimento con dos resultados (éxito, con probabilidad p, y fracaso, con probabilidad q = 1 − p), y X cuenta el número de éxitos:

• P(X = k) = C(n, k)·p^k·q^n−k, con k = 0, 1, …, n.
• Media μ = n·p y desviación típica σ = √(n·p·q).

Aproximación de la binomial por la normal. Cuando n es grande, calcular muchas probabilidades binomiales es muy laborioso. Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5 (criterio habitual), la binomial B(n, p) se aproxima por la normal N(np, √(npq)). Como pasamos de una variable discreta a una continua, se aplica la corrección de continuidad: cada valor entero k se sustituye por el intervalo (k − 0,5; k + 0,5). Por ejemplo, P(X ≤ 45) se aproxima por P(X' ≤ 45,5) y P(X = 45), por P(44,5 ≤ X' ≤ 45,5).

Propiedades útiles. Si a y b son números, E(aX + b) = a·E(X) + b y la desviación típica de aX + b es |a|·σ. Por ejemplo, si una ganancia en euros es G = 10X − 5, su media es 10·E(X) − 5. Recuerda también que la desviación típica nunca es negativa y que se expresa en las mismas unidades que la variable.

Ejemplo

Ejemplo 1. X toma los valores 0, 1, 2 y 3 con probabilidades 0,1; 0,3; 0,4 y 0,2.

• Comprobación: 0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,2 = 1.
• μ = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,4 + 3·0,2 = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7.
• Σ xᵢ²·pᵢ = 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7, así que σ² = 3,7 − 1,7² = 3,7 − 2,89 = 0,81 y σ = 0,9.

Ejemplo 2. El 40 % de los clientes de una tienda paga con tarjeta. Entre 100 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que como mucho 45 paguen con tarjeta?

• X = número de clientes que pagan con tarjeta, X ~ B(100; 0,4). n·p = 40 ≥ 5 y n·q = 60 ≥ 5, así que se puede aproximar.
• μ = 40 y σ = √(100·0,4·0,6) = √24 ≈ 4,90. X' ~ N(40; 4,90).
• P(X ≤ 45) ≈ P(X' ≤ 45,5) = P(Z ≤ (45,5 − 40)/4,90) = P(Z ≤ 1,12) ≈ 0,8686.

Ejercicios