Combinatoria, condicionada, Bayes, independencia

Combinatoria, probabilidad condicionada, Bayes e independencia

Para calcular probabilidades con la regla de Laplace necesitamos contar casos favorables y posibles. Cuando hay muchos, la combinatoria nos da fórmulas para contarlos sin escribirlos todos. Después veremos cómo cambia una probabilidad cuando tenemos información (probabilidad condicionada), cómo invertir esa información (Bayes) y cuándo dos sucesos no se influyen (independencia).

1. Combinatoria

Para elegir la fórmula hay que hacerse dos preguntas: ¿importa el orden? y ¿se pueden repetir los elementos?

• Variaciones sin repetición (importa el orden, no se repite): V_n,k = n · (n − 1) · … · (n − k + 1) = n!/(n − k)!.
• Variaciones con repetición (importa el orden, se puede repetir): VR_n,k = n^k.
• Permutaciones (se ordenan todos los elementos): P_n = n!.
• Combinaciones (no importa el orden, no se repite): C_n,k = n!/(k! · (n − k)!), que es el número combinatorio «n sobre k».

2. Probabilidad condicionada y regla del producto

P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B), con P(B) > 0. Despejando: P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B). Esta regla es la que se aplica en los diagramas de árbol.

3. Independencia

Dos sucesos A y B son independientes si saber que ha ocurrido uno no cambia la probabilidad del otro: P(A | B) = P(A). Equivale a P(A ∩ B) = P(A) · P(B), que es la forma más cómoda de comprobarlo. No hay que confundir independientes con incompatibles (P(A ∩ B) = 0): dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes, porque si ocurre uno el otro ya no puede ocurrir.

4. Probabilidad total y teorema de Bayes

Si A₁, …, A_n forman un sistema completo de sucesos:

• P(B) = Σ P(A_i) · P(B | A_i) (probabilidad total).
• P(A_i | B) = P(A_i) · P(B | A_i) / P(B) (Bayes).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (contar). En una carrera participan 8 corredores. ¿Cuántos podios distintos (oro, plata, bronce) hay? Importa el orden y no se repite: V_8,3 = 8 · 7 · 6 = 336. Si en cambio elegimos 3 de los 8 para formar un equipo, el orden no importa: C_8,3 = 336/3! = 336/6 = 56.

Ejemplo 2 (Laplace con combinatoria). De un grupo de 5 chicos y 4 chicas se eligen 3 personas al azar. ¿Probabilidad de que haya exactamente 2 chicas?

Casos posibles: C_9,3 = 84. Favorables: elegir 2 chicas de 4 y 1 chico de 5: C_4,2 · C_5,1 = 6 · 5 = 30. P = 30/84 = 5/14 ≈ 0,357.

Ejemplo 3 (independencia). P(A) = 0,3, P(B) = 0,5 y P(A ∩ B) = 0,15. Como P(A) · P(B) = 0,3 · 0,5 = 0,15 = P(A ∩ B), los sucesos son independientes. Además, P(A ∪ B) = 0,3 + 0,5 − 0,15 = 0,65.

Ejemplo 4 (Bayes). Una empresa compra piezas a tres proveedores: A suministra el 50 %, B el 30 % y C el 20 %. Son defectuosas el 1 % de las de A, el 2 % de las de B y el 3 % de las de C.

• P(D) = 0,5 · 0,01 + 0,3 · 0,02 + 0,2 · 0,03 = 0,005 + 0,006 + 0,006 = 0,017.
• Si una pieza es defectuosa, la probabilidad de que sea de C es P(C | D) = 0,006/0,017 = 6/17 ≈ 0,353.

Aunque C solo aporta el 20 % de las piezas, le corresponde más de un tercio de las defectuosas.

Ejemplo 5 (variaciones con repetición). Un PIN tiene 4 cifras (0-9) que se pueden repetir. Hay VR_10,4 = 10⁴ = 10 000 códigos posibles. Si se elige uno al azar, la probabilidad de que tenga las cuatro cifras distintas es V_10,4/10 000 = (10 · 9 · 8 · 7)/10 000 = 5040/10 000 = 0,504. Fíjate en que el numerador y el denominador se cuentan con el mismo criterio (con orden), algo imprescindible al aplicar la regla de Laplace.

Ejercicios