Combinatoria, condicionada, Bayes, independencia - Ejercicios y resumen

Introducción

En esta lección de repaso reunimos las herramientas de cálculo de probabilidades de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II: la combinatoria para contar casos, la probabilidad condicionada, el teorema de la probabilidad total, el teorema de Bayes y la independencia de sucesos. Son contenidos que aparecen cada año en la prueba de acceso a la universidad.

Explicación

Combinatoria. Sirve para contar casos posibles y favorables cuando son muchos. La clave es preguntarse si importa el orden y si se pueden repetir los elementos:

• Variaciones (importa el orden, sin repetición): V(n, k) = n! / (n − k)!.
• Permutaciones (se ordenan todos): P(n) = n!.
• Combinaciones (no importa el orden): C(n, k) = n! / (k!·(n − k)!).

Regla de Laplace: si todos los resultados son igual de probables, P(A) = casos favorables / casos posibles.

Probabilidad condicionada. La probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B es P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0. De ahí, P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B).

Probabilidad total. Si A₁, A₂, …, Aₙ forman un sistema completo de sucesos (no se solapan y cubren todos los casos), para cualquier suceso B: P(B) = P(A₁)·P(B|A₁) + … + P(Aₙ)·P(B|Aₙ). En un diagrama de árbol equivale a sumar las ramas que terminan en B.

Teorema de Bayes. Permite calcular la probabilidad de una causa sabiendo el efecto observado: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ) / P(B), donde P(B) se obtiene con la probabilidad total.

Independencia. Dos sucesos A y B son independientes si que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro. Se comprueba con P(A ∩ B) = P(A)·P(B), o con P(A|B) = P(A). No hay que confundirlos con sucesos incompatibles (A ∩ B = ∅): dos sucesos incompatibles con probabilidades positivas nunca son independientes.

Recuerda también: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) y P(Ā) = 1 − P(A).

Tablas de contingencia. Cuando los datos se clasifican según dos características (por ejemplo, sexo y preferencia por un producto), se ordenan en una tabla de doble entrada. Las probabilidades de intersección se leen en las casillas interiores, dividiendo entre el total, y las condicionadas se calculan dividiendo entre el total de la fila o de la columna que actúa como condición. Es una forma muy cómoda de comprobar si dos sucesos son independientes.

Ejemplo

Ejemplo 1 (combinatoria). ¿Cuántos podios (oro, plata y bronce) son posibles entre 8 corredores? Importa el orden y no se repite: V(8, 3) = 8·7·6 = 336.

Ejemplo 2 (probabilidad total y Bayes). Una fábrica tiene dos máquinas. M1 hace el 60 % de las piezas, con un 3 % de defectuosas; M2 hace el 40 %, con un 5 % de defectuosas.

a) Probabilidad de que una pieza sea defectuosa: P(D) = 0,6·0,03 + 0,4·0,05 = 0,018 + 0,020 = 0,038.

b) Si una pieza es defectuosa, probabilidad de que venga de M1: P(M1|D) = 0,018 / 0,038 = 9/19 ≈ 0,474.

Ejemplo 3 (independencia). P(A) = 0,3, P(B) = 0,5 y P(A ∩ B) = 0,15. Como P(A)·P(B) = 0,15 = P(A ∩ B), A y B son independientes.

Ejercicios