Cálculo de límites, indeterminaciones, asíntotas

Cálculo de límites, indeterminaciones y asíntotas

El límite de una función f(x) cuando x tiende a a es el valor al que se acercan las imágenes f(x) cuando x se aproxima a a tanto como queramos (sin llegar a valer a). Se escribe lim_x→a f(x) = L. Los límites sirven para estudiar qué hace una función cerca de puntos conflictivos y cuando x crece sin parar, y son la base de las asíntotas, la continuidad y las derivadas.

Límites laterales

Si nos acercamos a a por valores menores escribimos x→a⁻ (límite por la izquierda); por valores mayores, x→a⁺ (límite por la derecha). El límite existe solo si los dos límites laterales existen y coinciden.

Propiedades

Si lim f = L y lim g = M (números reales): lim (f ± g) = L ± M; lim (f · g) = L · M; lim (f / g) = L / M si M ≠ 0. En la práctica, para una función polinómica o racional en un punto de su dominio basta con sustituir.

Indeterminaciones

A veces, al sustituir, aparece una expresión cuyo valor no se puede saber de antemano. Son las indeterminaciones: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ e ∞⁰. No significan que el límite no exista, sino que hay que transformar la expresión. Los métodos más usados en este curso son:

• 0/0 en funciones racionales: factorizar numerador y denominador (Ruffini) y simplificar el factor común (x − a).
• ∞/∞ en funciones racionales: comparar grados. Si el grado del numerador es mayor, el límite es ±∞; si es menor, el límite es 0; si son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
• ∞ − ∞ con raíces: multiplicar y dividir por la expresión conjugada.
• k/0 con k ≠ 0: no es una indeterminación; el límite es infinito y hay que estudiar el signo con los límites laterales.

Asíntotas

• Asíntota vertical x = a: si al menos un límite lateral en a es +∞ o −∞. Se buscan en los puntos que anulan el denominador (o en los extremos del dominio de un logaritmo).
• Asíntota horizontal y = b: si lim_x→+∞ f(x) = b o lim_x→−∞ f(x) = b, con b real.
• Asíntota oblicua y = mx + n (m ≠ 0): m = lim f(x)/x y n = lim [f(x) − mx]. En las funciones racionales aparece cuando el grado del numerador supera en uno al del denominador; en ese caso no hay asíntota horizontal en ese lado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 (0/0). lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2). Al sustituir sale 0/0. Factorizamos: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, así que el límite es 2 + 2 = 4.

Ejemplo 2 (∞/∞). lim_x→+∞ (3x² + 1)/(x² − 5). Los grados son iguales (2 y 2), luego el límite es el cociente de coeficientes principales: 3/1 = 3. Comprobación dividiendo entre x²: (3 + 1/x²)/(1 − 5/x²) → 3/1 = 3.

Ejemplo 3 (∞ − ∞). lim_x→+∞ (√(x² + x) − x). Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

(x² + x − x²)/(√(x² + x) + x) = x/(√(x² + x) + x). Dividimos entre x: 1/(√(1 + 1/x) + 1) → 1/(1 + 1) = 1/2.

Ejemplo 4 (k/0 y límites laterales). lim_x→2 1/(x − 2). Al sustituir sale 1/0. Por la derecha, x − 2 es positivo y pequeño, así que el límite es +∞; por la izquierda es −∞. Los laterales no coinciden: el límite no existe, pero x = 2 es asíntota vertical.

Ejemplo 5 (asíntotas de una racional). f(x) = (2x + 3)/(x − 1).

• Vertical: el denominador se anula en x = 1 y el numerador vale 5. lim_x→1⁺ f(x) = +∞ y lim_x→1⁻ f(x) = −∞. Asíntota vertical x = 1.
• Horizontal: grados iguales, lim_x→±∞ f(x) = 2/1 = 2. Asíntota horizontal y = 2.
• Oblicua: no tiene, porque ya tiene horizontal.

Ejemplo 6 (asíntota oblicua). f(x) = (x² + 1)/(x − 1). Vertical en x = 1. El grado del numerador supera en uno al del denominador:

m = lim (x² + 1)/(x² − x) = 1; n = lim [(x² + 1)/(x − 1) − x] = lim (x + 1)/(x − 1) = 1. Asíntota oblicua y = x + 1.

Ejercicios