Operaciones con matrices, determinantes, sistemas aplicados

Introducción

Las matrices permiten ordenar datos en filas y columnas: las ventas de varios productos en varias tiendas, las cantidades de ingredientes de distintos menús o los coeficientes de un sistema de ecuaciones. En esta lección aprenderás a operar con matrices, a calcular determinantes y a usarlos para resolver sistemas de ecuaciones que surgen de problemas reales.

Matrices: definición y tipos

Una matriz de dimensión m × n es una tabla de números con m filas y n columnas. El elemento a_ij está en la fila i y la columna j. En este texto escribimos las matrices por filas, separadas por punto y coma: A = (1 2; 3 4) es la matriz 2 × 2 de primera fila (1, 2) y segunda fila (3, 4).

• Cuadrada: igual número de filas que de columnas.
• Identidad I: cuadrada, con unos en la diagonal principal y ceros en el resto.
• Traspuesta A^t: se obtiene cambiando filas por columnas.

Operaciones

• Suma: solo entre matrices de la misma dimensión; se suman los elementos que ocupan la misma posición.
• Producto por un número: se multiplica cada elemento por ese número.
• Producto de matrices: A (m × n) por B (n × p) solo es posible si el número de columnas de A coincide con el de filas de B; el resultado es m × p. Cada elemento es «fila de A por columna de B»: se multiplican término a término y se suman.
• El producto no es conmutativo: en general AB ≠ BA.

Determinantes

El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada.

• Orden 2: |A| = a₁₁·a₂₂ − a₁₂·a₂₁.
• Orden 3 (regla de Sarrus): se suman los tres productos de la diagonal principal y sus paralelas y se restan los tres de la diagonal secundaria y sus paralelas.
• Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de 0.

Sistemas de ecuaciones

Un sistema lineal se escribe como A·X = B, siendo A la matriz de coeficientes. Si |A| ≠ 0, el sistema tiene solución única (es compatible determinado) y se puede resolver por la regla de Cramer: cada incógnita es un cociente cuyo denominador es |A| y cuyo numerador es el determinante que resulta al sustituir su columna por la de términos independientes. También se puede resolver por el método de Gauss, haciendo ceros por debajo de la diagonal.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. A = (1 2; 3 4) y B = (0 1; 1 −1).
A + B = (1 3; 4 3).
AB: primera fila: 1·0 + 2·1 = 2 y 1·1 + 2·(−1) = −1; segunda fila: 3·0 + 4·1 = 4 y 3·1 + 4·(−1) = −1. AB = (2 −1; 4 −1).
En cambio, BA = (3 4; −2 −2): AB ≠ BA.

Ejemplo 2. Determinante de A = (1 2 0; 0 1 3; 2 0 1) por Sarrus.
Diagonal principal y paralelas: 1·1·1 + 2·3·2 + 0·0·0 = 1 + 12 + 0 = 13. Secundaria y paralelas: 0·1·2 + 2·0·1 + 1·3·0 = 0. |A| = 13 − 0 = 13.

Ejemplo 3 (aplicación). Un cine vende 30 entradas y recauda 195 €. La entrada de adulto cuesta 8 € y la infantil, 5 €. ¿Cuántas de cada tipo vendió?
a + n = 30; 8a + 5n = 195. Determinante de coeficientes: 1·5 − 1·8 = −3 ≠ 0, así que hay solución única.
Cramer: a = (30·5 − 1·195)/(−3) = (150 − 195)/(−3) = 15; n = (1·195 − 8·30)/(−3) = (195 − 240)/(−3) = 15.
Se vendieron 15 entradas de adulto y 15 infantiles. Comprobación: 15·8 + 15·5 = 120 + 75 = 195 €.

Errores frecuentes

• Multiplicar matrices elemento a elemento: el producto se hace «fila por columna».
• Suponer que AB = BA.
• En Sarrus, equivocarse de signo: los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas se restan.

Ejercicios