Operaciones con matrices, determinantes, sistemas aplicados - Ejercicios y resumen

Resumen de la unidad

Notación: escribimos las matrices por filas, separadas por punto y coma. Por ejemplo, (1 2; 0 1) tiene primera fila (1, 2) y segunda fila (0, 1).

• Suma: solo con la misma dimensión, elemento a elemento.
• Producto: A (m × n) · B (n × p) = matriz m × p, multiplicando «fila por columna». No es conmutativo.
• Traspuesta: cambiar filas por columnas.
• Determinante de orden 2: ad − bc para (a b; c d). De orden 3: regla de Sarrus.
• Si A es n × n, |k·A| = kⁿ·|A| (cada una de las n filas queda multiplicada por k).
• Inversa: existe si y solo si |A| ≠ 0. Para (a b; c d), la inversa es (1/|A|)·(d −b; −c a).
• Sistemas: si el determinante de coeficientes es distinto de 0, solución única (Cramer o Gauss).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El producto no es conmutativo. A = (1 2; 0 1), B = (1 0; 3 1).
AB = (1·1 + 2·3, 1·0 + 2·1; 0·1 + 1·3, 0·0 + 1·1) = (7 2; 3 1).
BA = (1 2; 3 7). Son distintas.

Ejemplo 2. Matriz inversa de orden 2. A = (2 1; 5 3).
|A| = 6 − 5 = 1 ≠ 0. A⁻¹ = (3 −1; −5 2). Comprobación: A·A⁻¹ = (6 − 5, −2 + 2; 15 − 15, −5 + 6) = (1 0; 0 1), la identidad.

Ejemplo 3. Sistema 3 × 3 por Gauss. x + y + z = 6; x − y + z = 2; 2x + y − z = 1.
Restando la segunda ecuación a la primera: 2y = 4, y = 2. Sustituyendo: x + z = 4 y 2x − z = −1. Sumando ambas: 3x = 3, x = 1, y entonces z = 3. Solución: (1, 2, 3). Comprobación en la tercera: 2 + 2 − 3 = 1.

Ejemplo 4. Aplicación con producto de matrices. Una tienda vende 10 camisetas y 4 pantalones el lunes, y 6 camisetas y 8 pantalones el martes. Una camiseta cuesta 12 € y un pantalón, 30 €.
Matriz de ventas V = (10 4; 6 8) y matriz de precios P = (12; 30), una columna. V·P = (10·12 + 4·30; 6·12 + 8·30) = (240; 312). El lunes se ingresaron 240 € y el martes, 312 €.

Ejemplo 5. Determinante de orden 3. A = (3 1 2; 0 2 −1; 1 4 0).
Diagonal principal y paralelas: 3·2·0 + 1·(−1)·1 + 2·0·4 = 0 − 1 + 0 = −1. Diagonal secundaria y paralelas: 2·2·1 + 1·0·0 + 3·(−1)·4 = 4 + 0 − 12 = −8. |A| = −1 − (−8) = 7. Como es distinto de 0, A tiene inversa.

Ejemplo 6. Traspuesta. Si A = (1 0 2; 3 1 0), de dimensión 2 × 3, su traspuesta es A^t = (1 3; 0 1; 2 0), de dimensión 3 × 2.

Errores frecuentes

• Intentar multiplicar matrices cuyas dimensiones no encajan: el número de columnas de la primera debe ser igual al de filas de la segunda.
• Creer que |3A| = 3|A|: en una matriz de orden n, |3A| = 3ⁿ|A|.
• Olvidar comprobar la solución de un sistema sustituyendo en todas las ecuaciones.

Ejercicios