Intervalos, valor absoluto, radicales, racionalización

Introducción

Los números reales (ℝ) agrupan los naturales, enteros, racionales (fracciones o decimales periódicos) e irracionales (decimales infinitos no periódicos, como √2 o π). En esta lección aprenderás a describir conjuntos de números reales con intervalos, a usar el valor absoluto y a operar con radicales, incluida la racionalización de denominadores.

Intervalos

El infinito nunca se incluye: siempre lleva paréntesis. La unión (∪) reúne los elementos de dos intervalos; la intersección (∩) se queda con los comunes.

Valor absoluto

El valor absoluto de x es su distancia al 0: |x| = x si x ≥ 0 y |x| = −x si x < 0. Así, |−4| = 4 y |4| = 4. Además, |x − a| es la distancia entre x y a. De ahí salen tres reglas muy útiles (con r > 0):

• |x − a| = r ⇔ x = a − r o x = a + r.
• |x − a| < r ⇔ a − r < x < a + r, el intervalo (a − r, a + r).
• |x − a| > r ⇔ x < a − r o x > a + r.

Radicales

Un radical es una potencia de exponente fraccionario: ⁿ√(a^m) = a^m/n. Propiedades (con radicandos positivos):

• √(a · b) = √a · √b y √(a/b) = √a / √b.
• Extraer factores: √75 = √(25 · 3) = 5√3.
• Solo se pueden sumar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando): 2√3 + 5√3 = 7√3, pero √2 + √3 no se simplifica. Ojo: √(a + b) ≠ √a + √b.

Racionalización

Racionalizar es eliminar las raíces del denominador multiplicando numerador y denominador por la misma expresión:

• Denominador √a: se multiplica por √a.
• Denominador ⁿ√(a^m): se multiplica por ⁿ√(a^n−m).
• Denominador √a ± √b o a ± √b: se multiplica por el conjugado (cambiando el signo del medio), porque (√a + √b)(√a − √b) = a − b.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. |5 − 12| + |−3| − |7 − 7| = 7 + 3 − 0 = 10.

Ejemplo 2. Resuelve |x − 3| < 5.
−5 < x − 3 < 5 ⇒ −2 < x < 8. Solución: (−2, 8).

Ejemplo 3. Resuelve |2x + 1| = 7.
2x + 1 = 7 ⇒ x = 3; o 2x + 1 = −7 ⇒ x = −4.

Ejemplo 4. Simplifica √75 − 2√27 + √48.
√75 = 5√3; √27 = 3√3, luego 2√27 = 6√3; √48 = 4√3. Resultado: 5√3 − 6√3 + 4√3 = 3√3.

Ejemplo 5. Racionaliza 6/√3.
6/√3 = 6√3/(√3 · √3) = 6√3/3 = 2√3.

Ejemplo 6. Racionaliza 4/(√5 − 1).
Multiplicamos por el conjugado √5 + 1: 4(√5 + 1)/((√5)² − 1²) = 4(√5 + 1)/4 = √5 + 1.

Ejemplo 7. Resuelve |x + 1| ≥ 2.
x + 1 ≥ 2 ⇒ x ≥ 1, o x + 1 ≤ −2 ⇒ x ≤ −3. Solución: (−∞, −3] ∪ [1, +∞).

Ejemplo 8. Racionaliza 3/(2 − √2).
Conjugado: 2 + √2. 3(2 + √2)/(4 − 2) = (6 + 3√2)/2.

Errores frecuentes

• Escribir [2, +∞]: el infinito siempre va con paréntesis.
• Sumar radicales no semejantes: √2 + √3 no es √5.
• Olvidar la segunda solución de |x − a| = r: siempre hay que considerar el valor positivo y el negativo.

Ejercicios