Intervalos, valor absoluto, radicales, racionalización - Ejercicios y resumen

Introducción

En esta lección repasamos cuatro herramientas básicas del trabajo con números reales: los intervalos, que sirven para describir conjuntos de números; el valor absoluto, que mide distancias; los radicales, y la racionalización, que elimina las raíces del denominador de una fracción. Las usarás constantemente al resolver inecuaciones y al estudiar funciones.

Explicación

Intervalos. Un intervalo es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre dos extremos. El corchete indica que el extremo está incluido y el paréntesis que no lo está:

• Intervalo cerrado: [a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}.
• Intervalo abierto: (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}.
• Semiabiertos: [a, b) y (a, b].
• Semirrectas: (−∞, a], (a, +∞)… El infinito siempre va con paréntesis, porque no es un número.

La unión de dos intervalos se escribe con el símbolo ∪; por ejemplo, (−∞, −1] ∪ [5, +∞).

Valor absoluto. El valor absoluto de un número es su distancia al cero, por eso nunca es negativo: |x| = x si x ≥ 0, y |x| = −x si x < 0. Así, |7| = 7 y |−7| = 7. Además, |x − a| es la distancia entre x y a. De ahí salen tres reglas muy útiles (con k > 0):

• |x − a| = k ⟺ x = a − k o x = a + k.
• |x − a| < k ⟺ a − k < x < a + k, es decir, x ∈ (a − k, a + k).
• |x − a| > k ⟺ x < a − k o x > a + k.

Radicales. Un radical es una expresión de la forma ⁿ√a, que equivale a la potencia a^1/n. Propiedades principales: √(a·b) = √a·√b y √(a/b) = √a/√b (con a, b ≥ 0). Para extraer factores se descompone el radicando: √50 = √(25·2) = 5√2. Solo se pueden sumar radicales semejantes (mismo índice y mismo radicando): 3√2 + 5√2 = 8√2, pero √2 + √3 no se puede simplificar.

Racionalización. Racionalizar es transformar una fracción en otra equivalente sin raíces en el denominador:

• Si el denominador es √a, se multiplica numerador y denominador por √a.
• Si el denominador es √a ± √b (o a ± √b), se multiplica por el conjugado, que tiene el signo contrario, y se usa (p + q)(p − q) = p² − q².

Ejemplo

Ejemplo 1. Resuelve |2x − 1| < 5.

Por la regla del valor absoluto: −5 < 2x − 1 < 5. Sumamos 1: −4 < 2x < 6. Dividimos entre 2: −2 < x < 3. Solución: x ∈ (−2, 3).

Ejemplo 2. Simplifica √50 + √18 − √8.

√50 = 5√2, √18 = 3√2 y √8 = 2√2. Son semejantes: 5√2 + 3√2 − 2√2 = 6√2.

Ejemplo 3. Racionaliza 5/(√7 + √2).

Multiplicamos por el conjugado √7 − √2: 5(√7 − √2) / ((√7)² − (√2)²) = 5(√7 − √2) / (7 − 2) = √7 − √2.

Ejercicios