Dominio, continuidad, tipos de funciones, funciones a trozos - Ejercicios y resumen

Resumen de la unidad

• Función: a cada x le corresponde un único valor f(x).
• Dominio: polinómicas y exponenciales, todo ℝ; racionales, se excluyen los ceros del denominador; raíces de índice par, radicando ≥ 0; logaritmos, argumento > 0.
• Tipos: lineal (recta), cuadrática (parábola, vértice en x = −b/2a), proporcionalidad inversa (hipérbola), exponencial y logarítmica.
• Continuidad en x = a: existe f(a), existe el límite y ambos coinciden.
• Discontinuidades: evitable (el límite existe), de salto finito (límites laterales distintos), de salto infinito (algún lateral es ±∞).
• Funciones a trozos: se estudia la continuidad en los puntos de cambio comparando límites laterales y valor de la función.
• Composición: (f ∘ g)(x) = f(g(x)); en general f(g(x)) ≠ g(f(x)).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Vértice y cortes de una parábola. f(x) = x² − 4x + 3.
x_v = −b/(2a) = 4/2 = 2; y_v = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1. Vértice: (2, −1).
Cortes con OX: x² − 4x + 3 = 0, x = 1 y x = 3. Corte con OY: f(0) = 3.
Como a = 1 > 0, la parábola se abre hacia arriba: el vértice es un mínimo. Además, f(x) < 0 exactamente entre las raíces, en (1, 3).

Ejemplo 2. Recta y cortes con los ejes. f(x) = 2x − 3.
Corte con OY: f(0) = −3, punto (0, −3). Corte con OX: 2x − 3 = 0, x = 3/2, punto (3/2, 0). Pendiente 2 > 0: es creciente.

Ejemplo 3. Continuidad con un parámetro. f(x) = x² si x ≤ 2; f(x) = 3x − k si x > 2.
Límite por la izquierda (y valor): 2² = 4. Límite por la derecha: 6 − k. Continua si 4 = 6 − k, es decir, k = 2.

Ejemplo 4. Tipo de discontinuidad. f(x) = x si x < 0; f(x) = x + 2 si x ≥ 0.
Por la izquierda de 0 el límite es 0; por la derecha, 2. Son números distintos: discontinuidad de salto finito (el salto mide 2).

Ejemplo 5. Impuesto por tramos. Un municipio cobra una tasa T(x) = 0,1x si x ≤ 1000 €, y T(x) = 100 + 0,2(x − 1000) si x > 1000 €.
En x = 1000 ambos trozos dan 100 €: la tasa es continua. Para x = 1500: T = 100 + 0,2 · 500 = 200 €.

Ejemplo 6. Exponencial. f(x) = 3 · 2^x es creciente porque la base 2 es mayor que 1; f(0) = 3 y f(3) = 24. Si un capital de 1000 € crece un 5 % anual, al cabo de t años vale C(t) = 1000 · 1,05^t.

Ejemplo 7. Dominio con raíz y fracción. f(x) = √(x + 2)/(x − 1).
El radicando debe cumplir x + 2 ≥ 0, es decir, x ≥ −2, y el denominador no puede anularse: x ≠ 1. Dom f = [−2, 1) ∪ (1, +∞).

Ejemplo 8. Signo de una cuadrática. ¿Para qué valores es negativa f(x) = x² − 9?
Raíces: x = −3 y x = 3. La parábola se abre hacia arriba, así que es negativa entre las raíces: (−3, 3).

Errores frecuentes

• Confundir f(g(x)) con g(f(x)): con f(x) = 2x + 1 y g(x) = x², f(g(3)) = 19 pero g(f(3)) = 49.
• Escribir el vértice con el signo cambiado: x_v = −b/(2a), con el signo de b incluido.
• Olvidar los puntos que anulan el denominador al dar el dominio de una función que también tiene raíces.

Ejercicios