Correlación, regresión, predicción

Correlación, regresión y predicción

Introducción

A menudo nos interesa saber si dos variables están relacionadas: las horas de estudio y la nota, la temperatura y las ventas de helados, la publicidad y los ingresos de una empresa. Una distribución bidimensional estudia a la vez dos variables (X, Y) sobre los mismos individuos. Con la correlación medimos la fuerza de su relación lineal, y con la recta de regresión hacemos predicciones.

Nube de puntos

Cada par de datos (x_i, y_i) se representa como un punto. El conjunto de puntos es la nube de puntos o diagrama de dispersión. Su forma nos da una primera idea:

• Si los puntos suben de izquierda a derecha, la correlación es positiva (directa).
• Si bajan, la correlación es negativa (inversa).
• Si no siguen ninguna tendencia, la correlación es nula o muy débil.
• Cuanto más se acercan los puntos a una recta, más fuerte es la correlación.

Covarianza y coeficiente de correlación

La covarianza indica el sentido de la relación:

σ_xy = Σ x_i·y_i / N − x̄·ȳ

Si σ_xy > 0 la relación es positiva; si σ_xy < 0, negativa. Pero su valor depende de las unidades, así que para medir la fuerza usamos el coeficiente de correlación de Pearson:

r = σ_xy / (σ_x·σ_y)

• Siempre se cumple −1 ≤ r ≤ 1.
• r = 1 o r = −1: dependencia lineal exacta (todos los puntos en una recta).
• |r| cercano a 1: correlación fuerte; |r| cercano a 0: correlación débil o nula.
• El signo de r coincide con el de la covarianza.

Recta de regresión y predicción

La recta de regresión de Y sobre X es la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos y sirve para estimar y a partir de x:

y − ȳ = (σ_xy / σ_x²) · (x − x̄)

El número σ_xy / σ_x² es la pendiente y se llama coeficiente de regresión. La recta siempre pasa por el punto (x̄, ȳ), llamado centro de gravedad.

Una predicción es fiable si |r| es cercano a 1 y si el valor de x está dentro del rango de los datos observados o muy cerca. Si |r| es pequeño, o si nos alejamos mucho de los datos, la predicción no es fiable.

Importante: correlación no implica causalidad. Que dos variables estén relacionadas no significa que una cause la otra; puede haber una tercera variable que influya en ambas.

Ejemplo resuelto

Horas de estudio (X) y nota (Y) de 5 alumnos:

1. Medias: x̄ = 15 / 5 = 3; ȳ = 25 / 5 = 5.

2. Varianzas y desviaciones típicas: Σ x_i² = 55, así que σ_x² = 55/5 − 3² = 2 y σ_x ≈ 1,414. Σ y_i² = 143, así que σ_y² = 143/5 − 5² = 3,6 y σ_y ≈ 1,897.

3. Covarianza: Σ x_i·y_i = 2 + 8 + 15 + 28 + 35 = 88, así que σ_xy = 88/5 − 3·5 = 17,6 − 15 = 2,6.

4. Correlación: r = 2,6 / (1,414 · 1,897) ≈ 0,97. Correlación positiva y muy fuerte.

5. Recta de regresión: pendiente = 2,6 / 2 = 1,3. y − 5 = 1,3·(x − 3), es decir, y = 1,3x + 1,1.

6. Predicción: para 6 horas de estudio, y = 1,3·6 + 1,1 = 8,9. Es bastante fiable porque r ≈ 0,97 y x = 6 está muy cerca de los datos. En cambio, predecir la nota con 20 horas daría 27,1, un valor absurdo: no se debe extrapolar lejos de los datos.

Ejercicios