Correlación, regresión, predicción - Ejercicios y resumen
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Introducción
Muchas veces queremos saber si dos variables numéricas están relacionadas: las horas de estudio y la nota, la temperatura y las ventas de helados, etc. La estadística bidimensional estudia esa relación con la covarianza, el coeficiente de correlación y la recta de regresión, que permite hacer predicciones.
Explicación
Nube de puntos. Cada pareja de datos (xi, yi) se representa como un punto. Su forma nos da una primera idea de la relación.
Covarianza. Sxy = Σxiyi / n − x̄·ȳ. Si es positiva, cuando una variable crece la otra tiende a crecer; si es negativa, tiende a decrecer.
Coeficiente de correlación lineal de Pearson. r = Sxy / (Sx·Sy), donde Sx y Sy son las desviaciones típicas. Siempre cumple −1 ≤ r ≤ 1:
r cercano a 1: correlación lineal positiva fuerte.
r cercano a −1: correlación lineal negativa fuerte.
r cercano a 0: no hay relación lineal (aunque podría haber otro tipo de relación).
r = ±1: dependencia lineal exacta (todos los puntos sobre una recta).
Recta de regresión de y sobre x. Es la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos (por mínimos cuadrados):
y − ȳ = (Sxy / Sx2)·(x − x̄)
Su pendiente, Sxy / Sx2, se llama coeficiente de regresión y tiene el mismo signo que r.
Predicción. Sustituimos un valor de x en la recta para estimar y. La estimación es fiable si |r| es próximo a 1 y si x está dentro del rango de los datos observados; fuera de ese rango (extrapolación) hay que ser prudente. Además, correlación no implica causalidad.
Ejemplo
Ejemplo. Horas de estudio (x) y nota (y) de cinco alumnos: (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5).
r = 1,2 / (√2 · √1,2) ≈ 0,77: correlación positiva bastante fuerte.
Recta: y − 4 = (1,2 / 2)(x − 3), es decir, y = 0,6x + 2,2.
Predicción para 4,5 horas: y = 0,6 · 4,5 + 2,2 = 4,9. Como 4,5 está dentro del rango de los datos y r ≈ 0,77, es una estimación razonable.
Ejercicios
Dos variables tienen covarianza Sxy = 12 y desviaciones típicas Sx = 3 y Sy = 5. ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación?
Se sabe que x̄ = 10, ȳ = 50, Sxy = 30 y Sx2 = 15. Usando la recta de regresión de y sobre x, ¿qué valor de y se estima para x = 12?
Material adicional
Ejemplos resueltos y ejercicios: Estadística bidimensional
Ejemplo resuelto Ejemplo 1: Planteamiento del problema de Estadística bidimensional. Paso 1: Identificar los datos del enunciado. Paso 2: Elegir la formula o método adecuado. Paso 3: Sustituir y resolver. Paso 4: Comprobar el resultado.
Ejemplo resuelto Ejemplo 2: Variante del ejercicio anterior con datos diferentes. Aplicamos el mismo procedimiento pero cambiando los valores para afianzar el método.
Ejemplo resuelto Ejemplo 3: Caso mas complejo que combina Estadística bidimensional con conceptos de temas anteriores. Requiere aplicar varios pasos y verificar la coherencia del resultado.
Ejercicios Ejercicios para practicar: 1. Resuelve aplicando directamente la teoría de Estadística bidimensional. 2. Plantea y resuelve un problema con los datos que se proporcionan. 3. Identifica el error en esta resolución y corrígelo. 4. Resuelve este ejercicio de nivel medio sobre Estadística bidimensional. 5. Problema de aplicación real: usa Estadística bidimensional para resolver una situación cotidiana. 6. Ejercicio inverso: dado el resultado, encuentra los datos iniciales. 7. Combina Estadística bidimensional con el tema anterior para resolver este problema. 8. Razona tu respuesta: explica cada paso que das. 9. Ejercicio de nivel avanzado sobre Estadística bidimensional. 10. Crea tu propio problema y resuelvelo.
✏️ Actividad de repaso
Repasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Correlación, regresión, predicción - Ejercicios y resumen.
Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.
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