mcm y mcd

mcm y mcd

En esta lección aprenderás a calcular el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) de dos o más números, y a usarlos para resolver problemas de la vida diaria.

Múltiplos y divisores

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por 1, 2, 3, 4... Por ejemplo, los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24... Un número tiene infinitos múltiplos.

Los divisores de un número son los números que lo dividen de forma exacta (con resto 0). Por ejemplo, los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Un número tiene una cantidad limitada de divisores.

Números primos y descomposición en factores

Un número primo solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo (2, 3, 5, 7, 11, 13...). Todo número compuesto se puede escribir como producto de números primos. Esto se llama descomposición en factores primos. Se hace dividiendo entre el menor primo posible hasta llegar a 1.

• 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
• 40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 2³ × 5

Mínimo común múltiplo (mcm)

El mcm de varios números es el menor de sus múltiplos comunes (sin contar el 0). Hay dos formas de calcularlo:

1. Por listas: escribimos los múltiplos de cada número y buscamos el primero que se repite.
2. Por factores primos: descomponemos los números y multiplicamos los factores comunes y no comunes, cada uno con su mayor exponente.

Máximo común divisor (mcd)

El mcd de varios números es el mayor de sus divisores comunes. También hay dos formas:

1. Por listas: escribimos los divisores de cada número y elegimos el mayor que se repite.
2. Por factores primos: multiplicamos solo los factores comunes, cada uno con su menor exponente.

Ejemplo

Ejemplo 1 (por listas). Calcula el mcm y el mcd de 6 y 9.

• Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36...
• Múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36...
• El primer múltiplo común es 18, así que mcm(6, 9) = 18.
• Divisores de 6: 1, 2, 3, 6. Divisores de 9: 1, 3, 9.
• El mayor divisor común es 3, así que mcd(6, 9) = 3.

Ejemplo 2 (por factores primos). Calcula el mcm y el mcd de 12 y 18.

• 12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3²
• mcm: tomamos 2 y 3 con su mayor exponente: 2² × 3² = 4 × 9 = 36
• mcd: tomamos los comunes con su menor exponente: 2 × 3 = 6
• Comprobación: 36 es múltiplo de 12 (36 : 12 = 3) y de 18 (36 : 18 = 2); 6 divide a 12 y a 18.

Problemas con mcm y mcd

Una pista útil: si el problema pregunta cuándo vuelven a coincidir dos cosas que se repiten, se usa el mcm. Si pregunta cómo repartir o cortar en partes iguales lo más grandes posible, se usa el mcd.

Ejemplo 3. Un autobús sale de la estación cada 12 minutos y otro cada 18 minutos. Si a las 9:00 salen juntos, ¿a qué hora vuelven a salir juntos?

Buscamos cuándo coinciden: mcm(12, 18) = 36 minutos. Vuelven a salir juntos a las 9:36.

Ejemplo 4. Tenemos 12 caramelos de fresa y 18 de limón. Queremos hacer bolsas iguales, con el mayor número de caramelos posible y sin mezclar sabores ni que sobre ninguno. ¿Cuántos caramelos lleva cada bolsa?

Buscamos el mayor divisor común: mcd(12, 18) = 6. Cada bolsa lleva 6 caramelos: salen 2 bolsas de fresa y 3 de limón.

Resumen

• Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por 1, 2, 3...; los divisores lo dividen de forma exacta.
• El mcm es el menor múltiplo común: factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
• El mcd es el mayor divisor común: solo factores comunes con el menor exponente.
• Problemas de «volver a coincidir» se resuelven con el mcm; problemas de «repartir en partes iguales lo más grandes posible», con el mcd.

Ejercicios