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Indeterminaciones
Cuando al sustituir obtenemos expresiones como inf/inf, inf - inf, 0/0, 1^inf, etc., se dice que hay una indeterminación. Hay que resolverla con técnicas específicas.
Tipo inf/inf (cocientes de polinomios)
Se divide por la mayor potencia de n que aparezca.
Tipo inf - inf
Se opera para transformar en un cociente.
Ejemplo resuelto
lim (n->inf) (raíz(n^2 + n) - n):
Multiplicamos por el conjugado:
= (n^2 + n - n^2)/(raíz(n^2 + n) + n)
= n/(raíz(n^2 + n) + n)
Dividimos por n:
= 1/(raíz(1 + 1/n) + 1) -> 1/(1+1) = 1/2
El número e
lim (n->inf) (1 + 1/n)^n = e = 2.71828...
Generalización: lim (n->inf) (1 + k/n)^n = e^k
Ejemplo resuelto
lim (n->inf) (1 + 3/n)^n = e^3 = 20.086...
Tipo 1^inf (regla general): si a_n -> 1 y b_n -> infinito, entonces lim (a_n)^(b_n) = e^L, con L = lim b_n·(a_n − 1).
Ejercicios
1) Resuelve la indeterminación: lim (n->inf) (raíz(n^2 + 2n) - n)
2) Calcula: lim (n->inf) ((n+2)/(n))^n
3) Calcula: lim (n->inf) ((2n^2 - n)/(2n^2 + 3))^n
✏️ Actividad de repasoRepasa los conceptos principales de esta lección. Intenta explicar con tus propias palabras lo que has aprendido sobre Indeterminaciones y numero e.
- Lee de nuevo las secciones que no hayas entendido bien.
- Escribe un resumen de 3-5 líneas con las ideas principales.
- Si hay ejercicios, intenta resolverlos sin mirar las soluciones.