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Números reales y radicales
En 4.º de ESO profundizamos en el estudio de los números reales y las operaciones con radicales. Dominar estos conceptos es imprescindible para abordar el álgebra y el análisis de funciones con rigor.
Repaso: la recta real
El conjunto de los números reales ℝ = ℚ ∪ (ℝ \ ℚ) está formado por los racionales (decimales exactos o periódicos) y los irracionales (decimales infinitos no periódicos). Cada punto de la recta se identifica con un número real y viceversa.
Radicales: definición y equivalencias
Un radical es una expresión de la forma ⁿ√a, donde n es el índice y a el radicando. Todo radical se puede escribir como potencia fraccionaria:
ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
Esta equivalencia permite aplicar todas las propiedades de las potencias a los radicales.
📘 Ejemplo resuelto⁴√(x³) = x^(3/4)
√(a⁵) = a^(5/2) = a² · √a
³√(8) = 8^(1/3) = 2 (porque 2³ = 8)
Simplificación de radicales
Un radical se puede simplificar de dos formas:
1. Extraer factores del radical: descomponer el radicando en factores primos y extraer las potencias cuyo exponente sea ≥ n (el índice).
📘 Ejemplo resueltoSimplificar √(180):
180 = 2² × 3² × 5
√180 = √(2² × 3² × 5) = 2 × 3 × √5 = 6√5
2. Simplificar el índice: dividir el índice y el exponente del radicando por su MCD.
📘 Ejemplo resuelto⁶√(a⁴) = a^(4/6) = a^(2/3) = ³√(a²)
⁴√(x²) = x^(2/4) = x^(1/2) = √x
Operaciones con radicales
Suma y resta: solo se pueden sumar o restar radicales semejantes (mismo índice y radicando):
a·ⁿ√b ± c·ⁿ√b = (a ± c)·ⁿ√b
📘 Ejemplo resuelto3√5 + 7√5 = 10√5
2√3 − 5√3 = −3√3
Pero √2 + √3 no se puede simplificar (radicandos distintos).
A veces hay que simplificar primero: √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
Multiplicación y división: se aplican las propiedades de los radicales (mismo índice):
ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a·b) ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b)
📘 Ejemplo resuelto√6 × √10 = √60 = √(4 × 15) = 2√15
√50 / √2 = √(50/2) = √25 = 5
Radicales con distinto índice: se reducen a índice común (MCM de los índices).
📘 Ejemplo resueltoMultiplicar √2 × ³√3:
MCM(2, 3) = 6
√2 = ⁶√(2³) = ⁶√8 ³√3 = ⁶√(3²) = ⁶√9
√2 × ³√3 = ⁶√8 × ⁶√9 = ⁶√72
Racionalización
Racionalizar consiste en eliminar los radicales del denominador de una fracción:
Caso 1: Denominador = ⁿ√a → multiplicar por ⁿ√(aⁿ⁻¹).
Caso 2: Denominador = √a ± √b → multiplicar por el conjugado (√a ∓ √b).
📘 Ejemplo resueltoCaso 1: 5/√3 = (5√3)/(√3·√3) = 5√3/3
Caso 2: 4/(√5 − √2) = 4(√5 + √2)/((√5)² − (√2)²) = 4(√5 + √2)/(5−2) = 4(√5 + √2)/3
Potencias de exponente racional
Combinando potencias y radicales, podemos operar con exponentes fraccionarios:
📘 Ejemplo resueltoSimplificar: (x^(2/3) · x^(1/2)) / x^(1/6)
Sumamos exponentes del numerador: 2/3 + 1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6
Restamos el del denominador: 7/6 − 1/6 = 6/6 = 1
Resultado: x
Intervalos y valor absoluto
El valor absoluto de un número real x se define como:
|x| = x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0
Propiedades: |x| ≥ 0, |x·y| = |x|·|y|, |x+y| ≤ |x|+|y| (desigualdad triangular).
La ecuación |x − a| < r define el intervalo (a − r, a + r).
📘 Ejemplo resuelto|x − 3| < 2 significa −2 < x − 3 < 2 → 1 < x < 5 → x ∈ (1, 5)
|x + 1| ≤ 4 significa −4 ≤ x + 1 ≤ 4 → −5 ≤ x ≤ 3 → x ∈ [−5, 3]
✏️ Ejercicios1. Simplifica los radicales: a) √(288) b) ³√(250) c) ⁴√(48) d) √(5/12)
2. Opera y simplifica: a) 3√2 + √50 − 2√8 b) √75 − √48 + √27
3. Multiplica y simplifica: a) √3 · √15 b) ³√4 · ³√2 c) √5 · ³√5
4. Racionaliza: a) 3/√7 b) 6/(√3 + 1) c) 2/(√5 − √3)
5. Simplifica: (a^(3/4) · a^(1/2)) / a^(1/4)
6. Ordena de menor a mayor: ³√10, √5, ⁶√200
7. Resuelve: a) |2x − 1| = 5 b) |x + 3| < 4 c) |3x − 2| ≥ 7
8. Demuestra que (√a + √b)² ≠ a + b (salvo que a = 0 o b = 0) usando un contraejemplo.
9. Escribe como un único radical simplificado: √2 · ³√4 · ⁶√8
10. Si la diagonal de un cuadrado es 8√2 cm, calcula el lado, el perímetro y el área, dejando el resultado en forma radical simplificada.
🎯 Aplicación prácticaRadicales en la música:
En la escala temperada (la que usan los pianos), cada semitono multiplica la frecuencia por ¹²√2 ≈ 1,05946.
1. Calcula la frecuencia de cada nota de una octava si el LA₄ = 440 Hz.
2. Comprueba que al subir 12 semitonos (una octava), la frecuencia se duplica: (¹²√2)¹² = 2.
🤔 ¿Sabías que...?Los pitagóricos descubrieron que √2 era irracional al estudiar la diagonal del cuadrado de lado 1. Este descubrimiento provocó una crisis filosófica, ya que contradecía su creencia de que todo se podía expresar como proporción de números enteros. Según la leyenda, el pitagórico Hipaso de Metaponto fue arrojado al mar por revelar este secreto.
📋 Resumen de la lección- Todo radical se puede expresar como potencia fraccionaria: ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n).
- Solo se suman/restan radicales semejantes (mismo índice y radicando).
- Para multiplicar radicales de distinto índice: reducir a índice común (MCM).
- Racionalizar: eliminar radicales del denominador multiplicando por el conjugado o la expresión adecuada.
- |x − a| < r equivale a x ∈ (a−r, a+r).