Clasificación de los números reales e intervalos

Introducción

Desde Primaria has ido ampliando los conjuntos de números: primero los naturales, después los enteros, las fracciones y los decimales. En 4.º de ESO cerramos el recorrido con los números reales, que llenan la recta numérica sin dejar huecos. En esta lección aprenderás a clasificar cualquier número en su conjunto y a describir trozos de la recta real mediante intervalos, una herramienta que usarás constantemente en inecuaciones y funciones.

Explicación

Los conjuntos numéricos

• Naturales (ℕ): 0, 1, 2, 3, ... Sirven para contar.
• Enteros (ℤ): los naturales y sus opuestos: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, ...
• Racionales (ℚ): los que se pueden escribir como fracción a/b con a y b enteros y b ≠ 0. Su expresión decimal es exacta (0,75 = 3/4) o periódica (0,333... = 1/3; 1,2777... = 23/18).
• Irracionales (𝕀): los que no se pueden escribir como fracción. Su expresión decimal es infinita y no periódica: √2 = 1,41421..., π = 3,14159..., e = 2,71828..., el número áureo φ = (1 + √5)/2.
• Reales (ℝ): la unión de racionales e irracionales: ℝ = ℚ ∪ 𝕀.

Los conjuntos están encajados unos dentro de otros: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ, y también 𝕀 ⊂ ℝ. Un número racional nunca es irracional, y al revés.

¿Cómo saber si una raíz es irracional? La raíz cuadrada de un número natural es entera si el número es un cuadrado perfecto (√49 = 7); si no lo es, la raíz es irracional (√12, √50). Además, la suma o el producto de un racional distinto de 0 por un irracional da siempre un irracional: 3 + √2 y 5√3 son irracionales.

La recta real

A cada número real le corresponde un único punto de la recta, y a cada punto un único número real. Por eso los subconjuntos de la recta se describen con intervalos.

Intervalos

Sean a y b dos números reales con a < b:

• Intervalo abierto (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}. No incluye los extremos (en el dibujo, círculos vacíos).
• Intervalo cerrado [a, b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}. Incluye los dos extremos (círculos rellenos).
• Semiabiertos: [a, b) = {x : a ≤ x < b} y (a, b] = {x : a < x ≤ b}.
• Semirrectas: (a, +∞) = {x : x > a}, [a, +∞) = {x : x ≥ a}, (−∞, b) = {x : x < b}, (−∞, b] = {x : x ≤ b}. El infinito siempre lleva paréntesis, porque no es un número y no se puede alcanzar.

Unión e intersección

La unión A ∪ B son los puntos que están en A o en B. La intersección A ∩ B son los puntos que están a la vez en A y en B.

Valor absoluto e intervalos

|x − a| es la distancia entre x y a. Por eso |x − a| < r equivale al intervalo (a − r, a + r), y |x − a| ≤ r a [a − r, a + r]. En cambio, |x − a| > r da los puntos que están lejos de a: (−∞, a − r) ∪ (a + r, +∞).

Ejemplo

Ejemplo 1. Clasifica los números: 7, −4, 2/3, 0,151515..., √16, √10, π/2, −1,5.

• 7 y √16 = 4: naturales (y por tanto también enteros, racionales y reales).
• −4: entero, no natural.
• 2/3, 0,151515... (= 15/99 = 5/33) y −1,5 (= −3/2): racionales no enteros.
• √10 (10 no es cuadrado perfecto) y π/2: irracionales.
• Todos son reales.

Ejemplo 2. Escribe como intervalo y como desigualdad:

• «Números mayores que −1 y menores o iguales que 3»: −1 < x ≤ 3 → (−1, 3].
• «Números menores que 2»: x < 2 → (−∞, 2).

Ejemplo 3. Unión e intersección. Sean A = [−2, 3) y B = (1, 5].

• A ∩ B: puntos comunes, mayores que 1 y menores que 3 → (1, 3).
• A ∪ B: desde −2 (incluido) hasta 5 (incluido) → [−2, 5].

Ejemplo 4. Valor absoluto. |x + 2| < 3 significa −3 < x + 2 < 3; restando 2: −5 < x < 1 → (−5, 1). Comprobación: x = 0 cumple |0 + 2| = 2 < 3, y x = 1 no cumple porque |1 + 2| = 3.

Ejercicios