Ecuaciones de primer y segundo grado
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica solo para ciertos valores de la incógnita. En esta lección repasamos las ecuaciones de primer grado y profundizamos en las de segundo grado.
Ecuaciones de primer grado
Son ecuaciones del tipo ax + b = 0 con a ≠ 0. Tienen exactamente una solución:
x = −b / a
📘 Ejemplo resueltoResolver 3x − 7 = 2x + 5:
3x − 2x = 5 + 7
x = 12
Comprobación: 3(12) − 7 = 36 − 7 = 29 2(12) + 5 = 24 + 5 = 29 ✓
Ecuaciones con denominadores: multiplicamos todos los términos por el m.c.m. de los denominadores.
📘 Ejemplo resueltoResolver (x+1)/2 − (x−3)/5 = 1
MCM(2, 5) = 10. Multiplicamos todo por 10:
5(x+1) − 2(x−3) = 10
5x + 5 − 2x + 6 = 10
3x + 11 = 10
3x = −1
x = −1/3
Ecuaciones de segundo grado
Son ecuaciones del tipo ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0. Se resuelven con la fórmula general:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
El discriminante Δ = b² − 4ac determina el número de soluciones:
| Discriminante | Tipo de soluciones | Ejemplo |
|---|
| Δ > 0 | Dos soluciones reales distintas | x² − 5x + 6 = 0 → x=2, x=3 |
| Δ = 0 | Una solución doble | x² − 6x + 9 = 0 → x=3 (doble) |
| Δ < 0 | Sin soluciones reales | x² + x + 1 = 0 → no hay solución en ℝ |
📘 Ejemplo resueltoEjemplo 1: Resolver 2x² − 7x + 3 = 0
a = 2, b = −7, c = 3
Δ = (−7)² − 4·2·3 = 49 − 24 = 25 > 0 → dos soluciones
x = (7 ± √25) / 4 = (7 ± 5) / 4
x₁ = (7 + 5)/4 = 12/4 = 3
x₂ = (7 − 5)/4 = 2/4 = 1/2
📘 Ejemplo resueltoEjemplo 2: Resolver x² + 4x + 4 = 0
a = 1, b = 4, c = 4
Δ = 16 − 16 = 0 → solución doble
x = −4 / 2 = −2 (solución doble)
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Son casos especiales que se pueden resolver sin usar la fórmula general:
Tipo ax² + bx = 0 (falta c): se saca factor común x.
📘 Ejemplo resuelto3x² − 12x = 0
3x(x − 4) = 0
x = 0 o x = 4
Tipo ax² + c = 0 (falta b): se despeja x².
📘 Ejemplo resuelto2x² − 50 = 0
x² = 25
x = ±5
Relaciones de Cardano-Vieta
Si x₁ y x₂ son las soluciones de ax² + bx + c = 0, se cumple:
x₁ + x₂ = −b/a x₁ · x₂ = c/a
📘 Ejemplo resueltoPara x² − 5x + 6 = 0 con soluciones x₁ = 2 y x₂ = 3:
Suma: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
Producto: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Problemas de ecuaciones
Muchos problemas cotidianos se resuelven planteando ecuaciones. Los pasos son: 1) identificar la incógnita, 2) plantear la ecuación, 3) resolverla, 4) comprobar la solución.
📘 Ejemplo resueltoProblema: La edad de un padre es el cuadrado de la edad de su hijo. Dentro de 20 años, el padre tendrá el triple de la edad del hijo. ¿Qué edades tienen ahora?
Sea x = edad del hijo → edad del padre = x²
Dentro de 20 años: x² + 20 = 3(x + 20)
x² + 20 = 3x + 60
x² − 3x − 40 = 0
x = (3 ± √(9+160))/2 = (3 ± 13)/2
x = 8 (descartamos x = −5 por ser negativa)
El hijo tiene 8 años y el padre 64 años.
Comprobación: dentro de 20 años → 28 y 84 → 84 = 3 × 28 ✓
✏️ Ejercicios1. Resuelve: a) 5(x − 3) = 2(x + 6) b) (2x+1)/3 − (x−4)/2 = 2
2. Resuelve por la fórmula general: a) x² − 5x + 4 = 0 b) 3x² + 2x − 5 = 0 c) x² + 2x + 5 = 0
3. Resuelve las incompletas: a) 4x² − 100 = 0 b) x² + 7x = 0 c) −2x² + 8 = 0
4. Sin resolver la ecuación, halla la suma y el producto de las soluciones de 2x² − 6x + 1 = 0.
5. Halla dos números cuya suma sea 12 y cuyo producto sea 35.
6. El perímetro de un rectángulo es 34 cm y su área es 60 cm². Halla sus dimensiones.
7. Resuelve: (x−1)(x+3) = x + 11
8. Un número y su inverso suman 10/3. ¿De qué número se trata?
9. Halla el valor de m para que la ecuación x² + mx + 9 = 0 tenga solución doble.
10. La diagonal de un rectángulo mide 13 cm. Si el largo supera al ancho en 7 cm, halla las dimensiones del rectángulo.
📋 Resumen de la lección- Las ecuaciones de 1.er grado (ax + b = 0) tienen una sola solución: x = −b/a.
- Las ecuaciones de 2.º grado (ax² + bx + c = 0) se resuelven con x = (−b ± √Δ)/(2a).
- El discriminante Δ = b² − 4ac determina: 2 soluciones (Δ>0), 1 doble (Δ=0) o ninguna real (Δ<0).
- Las incompletas se resuelven por factor común (falta c) o despejando x² (falta b).
- Para resolver problemas: plantear ecuación, resolver y comprobar el sentido de la solución.