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Introducción
Los polinomios son expresiones algebraicas formadas por la suma de varios monomios, como 3x² − 2x + 5. Saber sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos es imprescindible para simplificar expresiones, resolver ecuaciones y trabajar con funciones.
Explicación
Suma de polinomios. Se suman los términos semejantes, es decir, los que tienen la misma parte literal (la misma letra con el mismo exponente). Los coeficientes se suman y la parte literal se mantiene: 3x² + 5x² = 8x². Los términos que no son semejantes no se pueden juntar: 3x² + 2x no se simplifica.
Resta de polinomios. Restar un polinomio es sumar su opuesto: se quita el paréntesis cambiando el signo de todos sus términos y luego se suman los semejantes. Por ejemplo, −(x² + 4x − 1) = −x² − 4x + 1. El error más frecuente es cambiar solo el signo del primer término.
Multiplicación.
Monomio por monomio: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de la misma letra: 3x² · 4x³ = 12x⁵.
Monomio por polinomio: se multiplica el monomio por cada término (propiedad distributiva): 2x(x² − 3x + 1) = 2x³ − 6x² + 2x.
Polinomio por polinomio: se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y después se reducen los términos semejantes. El grado del producto es la suma de los grados.
Identidades notables. Algunos productos aparecen tanto que conviene recordarlos:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
División. Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término entre el monomio: (6x³ − 4x²) : 2x = 3x² − 2x. Para dividir entre otro polinomio se usa un algoritmo parecido a la división de números: se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, se multiplica el resultado por el divisor, se resta y se repite. Al final se cumple: dividendo = divisor · cociente + resto. Si el resto es 0, la división es exacta y el divisor es un factor del dividendo.
División: (x² + 5x + 6) : (x + 2). Dividimos x² entre x: x. Multiplicamos x·(x + 2) = x² + 2x y restamos: queda 3x + 6. Dividimos 3x entre x: 3. Multiplicamos 3·(x + 2) = 3x + 6 y restamos: queda 0. El cociente es x + 3 y el resto, 0.
Ejercicios
Calcula (4x² − 3x + 1) − (x² − 5x + 6).
Multiplica (2x − 1)(x + 4).
Material adicional
Ecuaciones de primer y segundo grado
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica solo para ciertos valores de la incógnita. En esta lección repasamos las ecuaciones de primer grado y profundizamos en las de segundo grado.
Ecuaciones de primer grado
Son ecuaciones del tipo ax + b = 0 con a ≠ 0. Tienen exactamente una solución:
Muchos problemas cotidianos se resuelven planteando ecuaciones. Los pasos son: 1) identificar la incógnita, 2) plantear la ecuación, 3) resolverla, 4) comprobar la solución.
📘 Ejemplo resuelto
Problema: La edad de un padre es el cuadrado de la edad de su hijo. Dentro de 20 años, el padre tendrá el triple de la edad del hijo. ¿Qué edades tienen ahora?
Sea x = edad del hijo → edad del padre = x² Dentro de 20 años: x² + 20 = 3(x + 20) x² + 20 = 3x + 60 x² − 3x − 40 = 0 x = (3 ± √(9+160))/2 = (3 ± 13)/2 x = 8 (descartamos x = −5 por ser negativa)
El hijo tiene 8 años y el padre 64 años. Comprobación: dentro de 20 años → 28 y 84 → 84 = 3 × 28 ✓
✏️ Ejercicios
1. Resuelve: a) 5(x − 3) = 2(x + 6) b) (2x+1)/3 − (x−4)/2 = 2
2. Resuelve por la fórmula general: a) x² − 5x + 4 = 0 b) 3x² + 2x − 5 = 0 c) x² + 2x + 5 = 0
3. Resuelve las incompletas: a) 4x² − 100 = 0 b) x² + 7x = 0 c) −2x² + 8 = 0
4. Sin resolver la ecuación, halla la suma y el producto de las soluciones de 2x² − 6x + 1 = 0.
5. Halla dos números cuya suma sea 12 y cuyo producto sea 35.
6. El perímetro de un rectángulo es 34 cm y su área es 60 cm². Halla sus dimensiones.
7. Resuelve: (x−1)(x+3) = x + 11
8. Un número y su inverso suman 10/3. ¿De qué número se trata?
9. Halla el valor de m para que la ecuación x² + mx + 9 = 0 tenga solución doble.
10. La diagonal de un rectángulo mide 13 cm. Si el largo supera al ancho en 7 cm, halla las dimensiones del rectángulo.
📋 Resumen de la lección
Las ecuaciones de 1.er grado (ax + b = 0) tienen una sola solución: x = −b/a.
Las ecuaciones de 2.º grado (ax² + bx + c = 0) se resuelven con x = (−b ± √Δ)/(2a).
El discriminante Δ = b² − 4ac determina: 2 soluciones (Δ>0), 1 doble (Δ=0) o ninguna real (Δ<0).
Las incompletas se resuelven por factor común (falta c) o despejando x² (falta b).
Para resolver problemas: plantear ecuación, resolver y comprobar el sentido de la solución.
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