Medidas de centralización

Introducción

Cuando tenemos muchos datos (las notas de una clase, las temperaturas de un mes, las horas de sueño de un grupo), resulta útil resumirlos con un solo número que represente a todos. Las medidas de centralización son esos valores representativos: la media, la mediana y la moda.

Explicación

Media aritmética. Es la suma de todos los datos dividida entre el número de datos (N). Si los datos aparecen en una tabla de frecuencias, se multiplica cada valor por su frecuencia absoluta, se suman esos productos y se divide entre N:

• Datos sueltos: media = (x₁ + x₂ + … + x_N) / N
• Tabla de frecuencias: media = (x₁·f₁ + x₂·f₂ + … + x_k·f_k) / N

Mediana. Es el valor que ocupa la posición central cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Deja la mitad de los datos por debajo y la otra mitad por encima.

• Si N es impar, la mediana es el dato central (el que ocupa el lugar (N + 1)/2).
• Si N es par, la mediana es la media de los dos datos centrales.

Moda. Es el valor que tiene mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Puede haber más de una moda (distribución bimodal) o ninguna, si todos los datos se repiten el mismo número de veces. La moda es la única medida de centralización que se puede usar también con variables cualitativas (color favorito, deporte preferido…).

¿Cuál conviene usar? La media utiliza todos los datos, pero se ve muy afectada por los valores extremos: si en un grupo cuatro personas cobran 1000 € y una cobra 20 000 €, la media (4800 €) no representa a casi nadie. En esos casos la mediana (1000 €) describe mejor la situación, porque no depende de los valores extremos.

Errores frecuentes. Calcular la mediana sin ordenar antes los datos; confundir la moda con su frecuencia (si el 7 se repite 3 veces, la moda es 7, no 3); y, en una tabla, dividir entre el número de valores distintos en lugar de entre el número total de datos N. Recuerda también que la media no tiene por qué coincidir con ninguno de los datos: puede salir un número decimal aunque todos los datos sean enteros.

Ejemplo

Ejemplo 1 (datos sueltos, N par). Datos: 8, 3, 5, 3, 7, 2.

• Ordenamos: 2, 3, 3, 5, 7, 8.
• Media = (2 + 3 + 3 + 5 + 7 + 8) / 6 = 28 / 6 ≈ 4,67.
• Mediana: hay 6 datos; los centrales son 3 y 5, así que la mediana es (3 + 5) / 2 = 4.
• Moda = 3, porque aparece dos veces.

Ejemplo 2 (tabla de frecuencias). Se pregunta a 20 alumnos cuántos hermanos tienen: 4 responden 0, 8 responden 1, 6 responden 2 y 2 responden 3.

• Media = (0·4 + 1·8 + 2·6 + 3·2) / 20 = 26 / 20 = 1,3 hermanos.
• Mediana: N = 20 es par, así que miramos los datos que ocupan los lugares 10.º y 11.º. Los cuatro primeros valen 0 y del 5.º al 12.º valen 1, luego ambos valen 1 y la mediana es 1.
• Moda = 1, porque es el valor con mayor frecuencia (8).

Ejercicios