Los números reales
En cursos anteriores hemos trabajado con números naturales (ℕ), enteros (ℤ) y racionales (ℚ). Ahora ampliaremos nuestro conocimiento con los números irracionales y el conjunto de los números reales (ℝ), que engloba todos los anteriores.
Clasificación de los conjuntos numéricos
Los conjuntos numéricos se organizan de forma inclusiva, es decir, cada conjunto contiene al anterior:
| Conjunto | Símbolo | Descripción | Ejemplos |
|---|
| Naturales | ℕ | Números para contar (incluye el 0) | 0, 1, 2, 3, 17, 250 |
| Enteros | ℤ | Naturales y sus opuestos | −5, −1, 0, 3, 12 |
| Racionales | ℚ | Se pueden expresar como fracción a/b | 1/3, −2/5, 0.75, 4 |
| Irracionales | ℝ \ ℚ | Decimales infinitos no periódicos | √2, π, e, √3 |
| Reales | ℝ | Racionales + Irracionales | Todos los anteriores |
La relación de inclusión es: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Todo número natural es entero, todo entero es racional y todo racional es real.
Números racionales: repaso
Un número es racional si se puede expresar como una fracción a/b con a y b enteros y b ≠ 0. Su expresión decimal es siempre exacta o periódica.
📘 Ejemplo resueltoDecimal exacto: 3/4 = 0,75 (tiene un número finito de cifras decimales).
Decimal periódico puro: 1/3 = 0,333... = 0,3̂ (la cifra 3 se repite infinitamente desde el principio).
Decimal periódico mixto: 1/6 = 0,1666... = 0,16̂ (la parte periódica empieza después de una cifra decimal no periódica).
Números irracionales
Un número es irracional cuando su expresión decimal tiene infinitas cifras que no se repiten de forma periódica. No se puede escribir como fracción.
Los irracionales más conocidos son:
| Número | Valor aproximado | Aparece en... |
|---|
| √2 | 1,41421356... | Diagonal del cuadrado de lado 1 |
| √3 | 1,73205080... | Altura de un triángulo equilátero de lado 2 |
| √5 | 2,23606797... | Diagonal del rectángulo 1×2 |
| π | 3,14159265... | Cociente entre perímetro y diámetro de un círculo |
| e | 2,71828182... | Base de los logaritmos neperianos |
| φ (phi) | 1,61803398... | Proporción áurea (arte y naturaleza) |
⚠️ Importante¿Cómo saber si un número es irracional?
Las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos son irracionales: √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10, √11...
En cambio √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4... son racionales porque dan resultado entero.
La recta real
Cada número real se corresponde con un punto de la recta y viceversa. Esta correspondencia se llama biyección. La recta real no tiene "huecos": entre dos números reales cualesquiera hay infinitos números más.
Intervalos y semirrectas
Un intervalo es un subconjunto de ℝ formado por todos los números comprendidos entre dos extremos a y b:
| Tipo | Notación | Desigualdad | Representación |
|---|
| Abierto | (a, b) | a < x < b | No incluye extremos |
| Cerrado | [a, b] | a ≤ x ≤ b | Incluye ambos extremos |
| Semiabierto izq. | (a, b] | a < x ≤ b | No incluye a, sí b |
| Semiabierto der. | [a, b) | a ≤ x < b | Incluye a, no b |
📘 Ejemplo resueltoEl intervalo [−2, 5) contiene todos los números reales x tales que −2 ≤ x < 5.
Por ejemplo: −2, −1, 0, 3.7, 4.999... pertenecen al intervalo.
El número 5 no pertenece al intervalo (paréntesis abierto en 5).
Aproximaciones y errores
Al trabajar con números irracionales, necesitamos aproximar su valor. Existen dos tipos de aproximación:
Truncamiento: se eliminan las cifras a partir de cierta posición decimal sin redondear.
Redondeo: se ajusta la última cifra conservada según la cifra siguiente (si es ≥ 5, se suma 1).
📘 Ejemplo resueltoAproximar π = 3,14159265... con 3 decimales:
• Truncamiento: 3,141
• Redondeo: 3,142 (la cuarta cifra decimal es 5, luego redondeamos al alza)
El error absoluto es la diferencia entre el valor exacto y su aproximación:
Error absoluto = |valor exacto − valor aproximado|
El error relativo expresa el error en proporción al valor exacto:
Error relativo = Error absoluto / |valor exacto|
Notación científica
Para expresar números muy grandes o muy pequeños usamos la notación científica:
a × 10ⁿ donde 1 ≤ |a| < 10 y n ∈ ℤ
📘 Ejemplo resueltoLa distancia de la Tierra al Sol es aproximadamente 149.600.000 km = 1,496 × 10⁸ km.
El diámetro de un átomo de hidrógeno es 0,0000000001 m = 1 × 10⁻¹⁰ m.
✏️ Ejercicios1. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales: 2/7, √5, 0,333..., π, −3, √49, 0,101001000100001...
2. Escribe la fracción generatriz de: a) 0,8̂ b) 2,3̂5̂ c) 1,25
3. Representa en la recta real el intervalo [−3, 2) e indica tres números que pertenezcan al mismo y dos que no.
4. Aproxima √7 por redondeo con 4 cifras decimales. Calcula el error absoluto y el relativo.
5. Expresa en notación científica: a) 32.500.000 b) 0,0000042 c) 602.200.000.000.000.000.000.000 (número de Avogadro)
6. Opera y da el resultado en notación científica: (3,2 × 10⁵) × (4 × 10⁻³)
7. Ordena de menor a mayor: √3, 1,7, 5/3, 1,73̂
8. Demuestra que √2 no es racional (sugerencia: razona por reducción al absurdo).
9. La masa de la Tierra es 5,972 × 10²⁴ kg y la de la Luna es 7,342 × 10²² kg. ¿Cuántas veces es más masiva la Tierra que la Luna?
10. Expresa como intervalo: a) Los números mayores que −1 y menores o iguales que 4. b) Todos los números reales positivos.
🎯 Aplicación prácticaInvestigación: los decimales de π
Con ayuda de una calculadora o un ordenador, busca las primeras 20 cifras decimales de π. Comprueba que no hay ningún patrón periódico. Investiga: ¿cuántos decimales de π se conocen actualmente? ¿Para qué sirve conocer tantos decimales?
🤔 ¿Sabías que...?El número π ha fascinado a matemáticos durante milenios. Arquímedes (siglo III a. C.) fue el primero en aproximarlo con precisión usando polígonos inscritos y circunscritos. En 2024, se calcularon más de 105 billones de dígitos de π gracias a supercomputadores. Sin embargo, con solo 39 decimales de π se puede calcular la circunferencia del universo observable con un error menor que el tamaño de un átomo de hidrógeno.
📋 Resumen de la lección- Los números reales (ℝ) incluyen a los racionales (ℚ) y a los irracionales.
- Los racionales tienen expresión decimal exacta o periódica; los irracionales no.
- Los intervalos representan subconjuntos de la recta real entre dos extremos.
- La notación científica permite manejar números muy grandes o muy pequeños: a × 10ⁿ.
- El error absoluto mide la diferencia entre el valor exacto y el aproximado; el error relativo lo expresa en proporción.