Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma aunque distinto tamaño: sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. La semejanza permite medir cosas a las que no podemos acceder directamente (la altura de un edificio, la anchura de un río) y es la base de los planos, los mapas y las maquetas.
Si dos figuras son semejantes, el cociente entre dos lados correspondientes es siempre el mismo número. Ese número se llama razón de semejanza y se representa con la letra k:
La razón de semejanza afecta de forma distinta a longitudes, áreas y volúmenes:
El teorema de Tales dice que si dos rectas secantes se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos que se forman en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra. Si en una recta los segmentos miden AB y BC, y en la otra A'B' y B'C', entonces AB/BC = A'B'/B'C'.
Cuando dos triángulos comparten un ángulo y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos, decimos que están en posición de Tales, y son semejantes. Para saber si dos triángulos cualesquiera son semejantes basta con comprobar uno de estos criterios:
Un plano o un mapa es una figura semejante a la realidad. La escala es la razón entre una longitud en el dibujo y la longitud real. La escala 1:50 000 significa que 1 cm en el mapa equivale a 50 000 cm (500 m) en la realidad. Para pasar del mapa a la realidad se multiplica por el denominador de la escala; para pasar de la realidad al mapa se divide.
Ejemplo 1 (aplicación del teorema de Tales). Tres rectas paralelas cortan a dos rectas secantes. En la primera recta determinan los segmentos AB = 4 cm y BC = 6 cm; en la segunda, A'B' = 6 cm. ¿Cuánto mide B'C'?
Por el teorema de Tales: 4/6 = 6/B'C'. Despejamos: B'C' = 6 · 6 / 4 = 36/4 = 9 cm.
Ejemplo 2 (altura de un árbol con su sombra). Un palo vertical de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. A la misma hora, un árbol proyecta una sombra de 12 m. ¿Cuánto mide el árbol?
Los rayos del sol llegan paralelos, así que el triángulo palo-sombra y el triángulo árbol-sombra son semejantes (tienen un ángulo recto y el mismo ángulo de inclinación de los rayos). Planteamos la proporción:
h / 12 = 1,5 / 2 → h = 12 · 1,5 / 2 = 18 / 2 = 9 m.
Ejemplo 3 (distancia en un mapa). En un mapa de escala 1:50 000, dos pueblos están separados 4,5 cm. ¿Qué distancia real los separa?
Distancia real = 4,5 · 50 000 = 225 000 cm. Como 1 km = 100 000 cm, la distancia es 2,25 km.
Ejemplo 4 (áreas de figuras semejantes). Un triángulo tiene un área de 10 cm². Se construye otro semejante cuyos lados miden el triple. ¿Cuál es su área?
La razón de semejanza es k = 3, así que el área se multiplica por k² = 9: 10 · 9 = 90 cm². Fíjate en que el área no se triplica: se multiplica por 9.
Ejemplo 5 (volúmenes y maquetas). Una maqueta de un depósito está hecha a escala 1:20 y tiene una capacidad de 3 litros. ¿Qué capacidad tiene el depósito real?
La razón entre el depósito real y la maqueta es k = 20, así que el volumen se multiplica por k³ = 8000: 3 · 8000 = 24 000 litros.
A cierta hora, una niña de 1,2 m de altura proyecta una sombra de 1,6 m. A la misma hora, una farola proyecta una sombra de 6 m. ¿Cuánto mide la farola?
En un mapa de escala 1:25 000, dos puntos están separados 8 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellos?
Dos polígonos son semejantes y la razón de semejanza es 4. Si el área del pequeño es 5 cm², ¿cuál es el área del grande?
Si se multiplican por 3 todas las dimensiones de una caja, manteniendo su forma, ¿por cuánto se multiplica su volumen?
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