Ecuaciones de primer y segundo grado

Ecuaciones de primer y segundo grado

Introducción

Una ecuación es una igualdad en la que aparece un valor desconocido, la incógnita (normalmente x). Resolverla es encontrar el valor o valores de x que hacen que la igualdad sea cierta. Según el mayor exponente al que está elevada la incógnita, hablamos de ecuaciones de primer grado (x) o de segundo grado (x²). En esta lección repasamos las primeras y aprendemos a resolver las segundas.

Ecuaciones de primer grado (repaso)

Una ecuación de primer grado se puede escribir como ax + b = 0, con a distinto de 0, y tiene una única solución. Para resolverla seguimos estos pasos en orden:

1. Quitar paréntesis aplicando la propiedad distributiva.
2. Quitar denominadores multiplicando los dos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.
3. Transponer términos: los que llevan x a un miembro y los números al otro. Lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando.
4. Reducir los términos semejantes.
5. Despejar x: el número que multiplica a x pasa dividiendo.
6. Comprobar sustituyendo la solución en la ecuación original.

Ejemplo 1. Resuelve 2(x + 3) - 5 = x + 4.

• Quitamos paréntesis: 2x + 6 - 5 = x + 4, es decir, 2x + 1 = x + 4.
• Transponemos: 2x - x = 4 - 1.
• Reducimos: x = 3.
• Comprobación: 2(3 + 3) - 5 = 7 y 3 + 4 = 7. Correcto.

Ejemplo 2. Resuelve (x + 1)/2 = (x - 2)/3 + 1.

• El m.c.m. de 2 y 3 es 6. Multiplicamos todo por 6: 3(x + 1) = 2(x - 2) + 6.
• Quitamos paréntesis: 3x + 3 = 2x - 4 + 6, es decir, 3x + 3 = 2x + 2.
• Transponemos y reducimos: 3x - 2x = 2 - 3, luego x = -1.
• Comprobación: (-1 + 1)/2 = 0 y (-1 - 2)/3 + 1 = -1 + 1 = 0. Correcto.

Error frecuente: al multiplicar por 6 hay que multiplicar todos los términos, también el 1 que no tiene denominador.

Ecuaciones de segundo grado

Su forma general es ax² + bx + c = 0, con a distinto de 0. Antes de resolverla hay que pasar todos los términos a un miembro e identificar a, b y c (con su signo).

Fórmula general

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

El número que está dentro de la raíz se llama discriminante: Δ = b² - 4ac. Nos dice cuántas soluciones hay antes de terminar el cálculo:

• Si Δ > 0: dos soluciones reales distintas.
• Si Δ = 0: una solución doble.
• Si Δ < 0: no tiene soluciones reales, porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo.

Ejemplo 3. Resuelve x² - 5x + 6 = 0.

• a = 1, b = -5, c = 6.
• Δ = (-5)² - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1 > 0: dos soluciones.
• x = (5 ± 1)/2, así que x₁ = 6/2 = 3 y x₂ = 4/2 = 2.
• Comprobación con x = 3: 9 - 15 + 6 = 0. Correcto.

Ejemplo 4. Resuelve x² + x + 1 = 0.

• a = 1, b = 1, c = 1. Δ = 1 - 4 = -3 < 0.
• La ecuación no tiene soluciones reales.

Ecuaciones incompletas

Si falta b o falta c, no hace falta la fórmula: hay caminos más rápidos.

• ax² + c = 0 (falta b): despejamos x² = -c/a y hacemos la raíz cuadrada, sin olvidar las dos soluciones, la positiva y la negativa.
• ax² + bx = 0 (falta c): sacamos factor común x(ax + b) = 0. Un producto es cero si lo es alguno de sus factores, así que x = 0 o x = -b/a.

Ejemplo 5. Resuelve 2x² - 8 = 0. Despejamos: 2x² = 8, x² = 4, luego x = 2 y x = -2.

Ejemplo 6. Resuelve x² - 3x = 0. Factor común: x(x - 3) = 0, luego x = 0 y x = 3. Error frecuente: dividir entre x y perder la solución x = 0.

Ejemplo 7 (problema). El área de un cuadrado es 49 cm². ¿Cuánto mide su lado? Si el lado es x, x² = 49, de donde x = 7 o x = -7. Como una longitud no puede ser negativa, el lado mide 7 cm. En los problemas hay que comprobar si cada solución tiene sentido.

Ejercicios

Resumen

• Primer grado: quitar paréntesis, quitar denominadores, transponer, reducir, despejar y comprobar.
• Segundo grado completa: fórmula general x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).
• El discriminante Δ = b² - 4ac indica si hay dos soluciones, una doble o ninguna real.
• Incompletas: si falta b, se despeja x²; si falta c, se saca factor común x.