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El campo gravitatorio
El campo gravitatorio es la región del espacio en la que una masa experimenta una fuerza de atracción gravitatoria. Toda masa crea a su alrededor un campo gravitatorio que puede representarse mediante líneas de campo y cuantificarse con la intensidad del campo gravitatorio.
Ley de gravitación universal de Newton
🔬 Fórmula claveF⃗ = −G · (M · m) / r² · ûr
donde:
• G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² (constante de gravitación universal)
• M y m = masas de los cuerpos (kg)
• r = distancia entre centros de masa (m)
• ûr = vector unitario radial (el signo − indica atracción)
Características: fuerza siempre atractiva, central (dirigida hacia el centro), conservativa (permite definir energía potencial).
Intensidad del campo gravitatorio (g⃗)
La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza gravitatoria por unidad de masa de prueba colocada en ese punto:
🔬 Fórmula claveg⃗ = F⃗ / m = −G · M / r² · ûr
Unidades: N/kg = m/s²
En la superficie terrestre: g = G · MT / RT² ≈ 9,8 m/s²
Potencial gravitatorio (V)
El potencial gravitatorio en un punto P es la energía potencial gravitatoria por unidad de masa:
🔬 Fórmula claveV(r) = −G · M / r
Unidades: J/kg
• V es siempre negativo (la referencia es V = 0 en el infinito).
• Las superficies equipotenciales son esferas concéntricas.
• g⃗ = −dV/dr (la intensidad es el gradiente del potencial con signo cambiado).
Energía potencial gravitatoria
🔬 Fórmula claveEp(r) = −G · M · m / r
Ep = m · V(r)
• Ep < 0 siempre (el sistema está ligado).
• Ep → 0 cuando r → ∞ (cuerpos infinitamente separados).
Velocidades orbitales y de escape
🔬 Fórmula claveVelocidad orbital (órbita circular de radio r):
vo = √(G · M / r)
Velocidad de escape (energía total = 0):
ve = √(2 · G · M / r)
Relación: ve = √2 · vo
Período orbital (3.ª ley de Kepler):
T² = (4π²/ G·M) · r³
📘 Ejemplo resueltoCalcula la velocidad orbital de la ISS, que orbita a 400 km de la superficie terrestre.
MT = 5,97 × 10²⁴ kg, RT = 6 371 km.
r = RT + h = 6 371 + 400 = 6 771 km = 6,771 × 10⁶ m
vo = √(G·M/r) = √(6,674×10⁻¹¹ × 5,97×10²⁴ / 6,771×10⁶)
vo = √(5,886×10⁷) = 7 672 m/s ≈ 27 620 km/h
📘 Ejemplo resueltoCalcula la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra.
ve = √(2GM/R) = √(2 × 6,674×10⁻¹¹ × 5,97×10²⁴ / 6,371×10⁶)
ve = √(1,249×10⁸) = 11 180 m/s ≈ 11,2 km/s
Energía mecánica en órbitas
🔬 Fórmula claveÓrbita circular:
Ec = ½ m v² = G·M·m / (2r)
Ep = −G·M·m / r
Em = Ec + Ep = −G·M·m / (2r)
La energía mecánica es negativa (sistema ligado). Si Em = 0, el cuerpo escapa.
Leyes de Kepler
1. Primera ley (órbitas elípticas): los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos.
2. Segunda ley (áreas iguales): el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales (velocidad areolar constante). El planeta va más rápido en el perihelio.
3. Tercera ley (armónica): T² / r³ = constante para todos los planetas del mismo sistema. Esto se deduce igualando la fuerza gravitatoria con la centrípeta.
🤔 ¿Sabías que…?Los satélites geoestacionarios orbitan exactamente con un período de 24 horas a una altitud de unos 35 786 km sobre el ecuador. Desde la Tierra parecen fijos en el cielo, por lo que son ideales para telecomunicaciones y meteorología.
✏️ Ejercicios1. Calcula la intensidad del campo gravitatorio a 200 km sobre la superficie terrestre.
2. ¿A qué altura sobre la Tierra la intensidad gravitatoria se reduce a la mitad de su valor superficial?
3. Calcula el potencial gravitatorio en la superficie de la Luna (ML = 7,35 × 10²² kg, RL = 1 737 km).
4. ¿Cuánta energía se necesita para llevar un satélite de 500 kg desde la superficie terrestre hasta una órbita de 600 km?
5. Calcula el período orbital de un satélite a 800 km de altura.
6. Calcula la velocidad de escape desde la superficie de Marte (M = 6,42 × 10²³ kg, R = 3 389 km).
7. Un satélite en órbita circular a 2RT del centro de la Tierra. Calcula su velocidad, período y energía mecánica (m = 300 kg).
8. Demuestra, usando la ley de gravitación y la fuerza centrípeta, la 3.ª ley de Kepler: T² = (4π²/GM) · r³.
9. ¿En qué punto entre la Tierra y la Luna la intensidad gravitatoria neta es cero? (dT-L = 384 400 km)
10. Calcula la altitud de un satélite geoestacionario (T = 24 h).
📋 Resumen de la lección- Ley de gravitación: F = G·M·m/r², siempre atractiva y conservativa.
- Intensidad del campo: g = GM/r². Potencial: V = −GM/r.
- Energía potencial: E_p = −GMm/r. Energía mecánica en órbita: E_m = −GMm/(2r).
- Velocidad orbital: v_o = √(GM/r). Velocidad de escape: v_e = √(2GM/r).
- Leyes de Kepler: órbitas elípticas, áreas iguales, T²/r³ = cte.