Ecuación de ondas y fenómenos ondulatorios

Ecuación de ondas y fenómenos ondulatorios

Introducción

Una onda es la propagación de una perturbación que transporta energía y cantidad de movimiento de un punto a otro sin transporte neto de materia. Las ondas mecánicas (sonido, ondas en una cuerda, olas) necesitan un medio material; las electromagnéticas (luz, radio, rayos X) pueden propagarse en el vacío. En esta lección aprenderás a describir matemáticamente una onda armónica y a explicar los fenómenos que la caracterizan: reflexión, refracción, difracción, interferencia, ondas estacionarias y efecto Doppler.

Explicación

Tipos de ondas

• Transversales: las partículas del medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación (cuerda, luz).
• Longitudinales: las partículas vibran en la misma dirección de propagación (sonido en el aire, muelle comprimido).

Ecuación de una onda armónica

Una onda armónica unidimensional que avanza en el sentido positivo del eje X se describe con:

y(x,t) = A · sen(ωt − kx + φ₀)

• A: amplitud (m), elongación máxima.
• ω = 2π/T = 2πf: frecuencia angular o pulsación (rad/s).
• k = 2π/λ: número de onda (rad/m).
• φ₀: fase inicial (rad).
• T: periodo (s); f = 1/T: frecuencia (Hz); λ: longitud de onda (m).

Si el signo entre ωt y kx es +, la onda avanza en el sentido negativo del eje X.

La velocidad de propagación depende del medio y es constante en un medio homogéneo:

v = λ/T = λ · f = ω/k

No hay que confundirla con la velocidad de vibración de cada partícula, que cambia con el tiempo:

v_y = ∂y/∂t = A·ω·cos(ωt − kx + φ₀), con valor máximo A·ω.

a_y = −ω²·y, con valor máximo A·ω².

Toda función de la forma y = f(x − vt) cumple la ecuación diferencial de ondas: ∂²y/∂x² = (1/v²) · ∂²y/∂t².

Doble periodicidad: la onda se repite en el tiempo cada T (en un punto fijo) y en el espacio cada λ (en un instante fijo). Dos puntos separados una distancia λ vibran en fase; separados λ/2, en oposición de fase.

Energía e intensidad

La energía que transporta una onda armónica es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia. La intensidad es la potencia por unidad de superficie perpendicular a la propagación: I = P/S (W/m²). Para un foco puntual que emite en todas direcciones, I = P/(4πr²): la intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia. En acústica se usa el nivel de intensidad sonora: β = 10 · log(I/I₀) dB, con I₀ = 10⁻¹² W/m².

Principio de Huygens

Cada punto de un frente de onda se comporta como un foco emisor de ondas secundarias; la envolvente de esas ondas es el nuevo frente de onda. Este principio explica la reflexión, la refracción y la difracción.

Fenómenos ondulatorios

• Reflexión: la onda rebota al llegar a la superficie de separación de dos medios. El ángulo de incidencia es igual al de reflexión.
• Refracción: la onda cambia de medio y de velocidad, y se desvía. Se cumple la ley de Snell: sen θ₁/v₁ = sen θ₂/v₂ (para la luz, n₁·sen θ₁ = n₂·sen θ₂). La frecuencia no cambia; cambian la velocidad y la longitud de onda.
• Difracción: la onda bordea obstáculos o se abre al pasar por una rendija. Es apreciable cuando el tamaño del obstáculo o de la rendija es del orden de λ. Por eso oímos detrás de una esquina (λ del sonido ≈ 1 m) pero no vemos detrás de ella (λ de la luz ≈ 500 nm).
• Interferencia: superposición de dos ondas coherentes en un punto. Para dos focos en fase, con distancias r₁ y r₂ al punto:
  – Constructiva (amplitud máxima) si r₂ − r₁ = n·λ.
  – Destructiva (amplitud mínima) si r₂ − r₁ = (2n + 1)·λ/2.
• Polarización: solo la presentan las ondas transversales; prueba que la luz es transversal.

Ondas estacionarias

Se forman al superponerse dos ondas iguales que viajan en sentidos opuestos (por ejemplo, la incidente y la reflejada en una cuerda). Su ecuación es y = 2A·sen(kx)·cos(ωt): hay puntos que no vibran (nodos) y puntos de amplitud máxima 2A (vientres). La distancia entre dos nodos consecutivos es λ/2. En una cuerda de longitud L fija por los dos extremos:

λ_n = 2L/n f_n = n·v/(2L) (n = 1, 2, 3…)

Para n = 1 se obtiene la frecuencia fundamental; las demás son sus armónicos. Una onda estacionaria no transporta energía neta.

Efecto Doppler

Cuando el foco y el observador se acercan, el observador percibe una frecuencia mayor que la emitida; cuando se alejan, menor. Si se acercan el uno al otro: f' = f · (v + v_o)/(v − v_F), siendo v la velocidad del sonido, v_o la del observador y v_F la del foco. Si se alejan, se cambian los dos signos.

Ejemplo

Ejemplo 1. Una onda viene dada por y(x,t) = 0,05 · sen(4πt − 2πx) (SI). Calcula A, f, T, λ, v y la velocidad máxima de vibración.

Comparando con y = A·sen(ωt − kx): A = 0,05 m; ω = 4π rad/s → f = ω/(2π) = 2 Hz y T = 1/f = 0,5 s; k = 2π rad/m → λ = 2π/k = 1 m. Velocidad de propagación: v = λ·f = 1 · 2 = 2 m/s (hacia +X). Velocidad máxima de vibración: A·ω = 0,05 · 4π ≈ 0,63 m/s.

Ejemplo 2. Dos altavoces emiten en fase un sonido de λ = 0,2 m. Un punto P está a 3,0 m de uno y a 3,5 m del otro. ¿Qué tipo de interferencia se produce en P?

Diferencia de caminos: Δr = 3,5 − 3,0 = 0,5 m. En longitudes de onda: 0,5/0,2 = 2,5 = 5/2, es decir, Δr = (2·2 + 1)·λ/2. Es un múltiplo impar de λ/2: la interferencia es destructiva.

Ejemplo 3. Una cuerda de 1,2 m está fija por sus dos extremos y las ondas se propagan en ella a 240 m/s. Calcula las tres primeras frecuencias de vibración.

f_n = n·v/(2L) = n · 240/(2 · 1,2) = n · 100 Hz. Por tanto f₁ = 100 Hz, f₂ = 200 Hz y f₃ = 300 Hz.

Ejemplo 4. Un rayo de luz pasa del aire (n = 1) al vidrio (n = 1,5) con un ángulo de incidencia de 30°. Calcula el ángulo de refracción.

1 · sen 30° = 1,5 · sen θ₂ → sen θ₂ = 0,5/1,5 = 0,333 → θ₂ ≈ 19,5°. El rayo se acerca a la normal porque en el vidrio la luz va más despacio. Su frecuencia no cambia y su longitud de onda se divide entre 1,5.

Ejercicios