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Introducción
Si un kilo de manzanas cuesta 2 €, dos kilos cuestan 4 € y tres kilos cuestan 6 €. Cuanto más compramos, más pagamos, y siempre en la misma proporción. Cuando dos cantidades se relacionan así decimos que son directamente proporcionales. En esta lección aprenderemos a reconocerlas y a resolver problemas con ellas.
Explicación
Dos magnitudes (cantidades que se pueden medir o contar) son directamente proporcionales cuando:
si una se multiplica por 2, por 3, por 4…, la otra también se multiplica por 2, por 3, por 4…;
si una se divide entre 2, entre 3…, la otra también se divide entre 2, entre 3…
Ejemplos de magnitudes directamente proporcionales: el número de entradas iguales que compramos y lo que pagamos; los kilómetros que recorre un coche a la misma velocidad y el tiempo que tarda; los ingredientes de una receta y el número de raciones.
¡Cuidado! No basta con que las dos cantidades aumenten. La edad de un niño y su altura aumentan a la vez, pero no son proporcionales: un niño de 10 años no mide el doble que uno de 5 años.
Tabla de proporcionalidad
Podemos ordenar los datos en una tabla. En una tabla de proporcionalidad directa, al dividir cada número de la segunda fila entre el de la primera fila sale siempre el mismo número.
Para resolver muchos problemas, primero calculamos cuánto corresponde a una unidad (dividiendo) y después lo multiplicamos por la cantidad que nos piden.
Otra forma de resolver: si es fácil ver cuántas veces más grande es una cantidad, podemos multiplicar directamente. Si 2 kg cuestan 6 €, 6 kg (el triple) cuestan el triple: 6 × 3 = 18 €. Y si es la mitad, dividimos entre 2. Para comprobar que una tabla es de proporcionalidad directa, haz las divisiones: si en alguna columna sale un número distinto, las magnitudes no son directamente proporcionales. Y recuerda: si una cantidad es 0, la otra también es 0 (0 entradas cuestan 0 €).
Ejemplo
Ejemplo 1. 3 kg de naranjas cuestan 6 €. ¿Cuánto cuestan 5 kg?
Precio de 1 kg: 6 ÷ 3 = 2 €.
Precio de 5 kg: 5 × 2 = 10 €.
Ejemplo 2. Para hacer 4 bizcochos se necesitan 12 huevos. ¿Cuántos huevos hacen falta para 8 bizcochos?
8 bizcochos es el doble de 4 bizcochos, así que necesitamos el doble de huevos: 12 × 2 = 24 huevos.
Ejercicios
Si 4 bolígrafos cuestan 8 €, ¿cuánto cuestan 7 bolígrafos?
¿Cuál de estas parejas de magnitudes es de proporcionalidad directa?
Material adicional
Medidas de longitud, masa y capacidad
Medir es comparar una magnitud con una unidad de referencia. En España usamos el Sistema Métrico Decimal, que tiene como unidades principales el metro (longitud), el kilogramo (masa) y el litro (capacidad).
En 4.º de Primaria aprendemos a convertir unas unidades en otras y a resolver problemas con medidas.
Medidas de longitud
La unidad principal de longitud es el metro (m).
Unidad
Abreviatura
Equivalencia
Kilómetro
km
1 km = 1.000 m
Hectómetro
hm
1 hm = 100 m
Decámetro
dam
1 dam = 10 m
Metro
m
Unidad principal
Decímetro
dm
1 m = 10 dm
Centímetro
cm
1 m = 100 cm
Milímetro
mm
1 m = 1.000 mm
Para pasar de una unidad mayor a otra menor → multiplicamos por 10 en cada escalón. Para pasar de una unidad menor a otra mayor → dividimos por 10 en cada escalón.
📘 Ejemplo
Convertir 3,5 km a metros: 3,5 km × 1.000 = 3.500 m (bajamos tres escalones: km → hm → dam → m, ×10 ×10 ×10)
Convertir 2.400 mm a m: 2.400 mm ÷ 1.000 = 2,4 m (subimos tres escalones: mm → cm → dm → m, ÷10 ÷10 ÷10)
Convertir 350 cm a m: 350 cm ÷ 100 = 3,5 m
Medidas de masa (peso)
La unidad principal de masa es el kilogramo (kg).
Unidad
Abreviatura
Equivalencia más usada
Tonelada
t
1 t = 1.000 kg
Kilogramo
kg
Unidad principal
Gramo
g
1 kg = 1.000 g
Miligramo
mg
1 g = 1.000 mg
📘 Ejemplo
Convertir 2,5 kg a gramos: 2,5 × 1.000 = 2.500 g
Convertir 750 g a kg: 750 ÷ 1.000 = 0,75 kg
Medidas de capacidad
La unidad principal de capacidad es el litro (l).
Unidad
Abreviatura
Equivalencia más usada
Kilolitro
kl
1 kl = 1.000 l
Litro
l
Unidad principal
Decilitro
dl
1 l = 10 dl
Centilitro
cl
1 l = 100 cl
Mililitro
ml
1 l = 1.000 ml
📘 Ejemplo
Convertir 3 l a ml: 3 × 1.000 = 3.000 ml
Convertir 500 ml a l: 500 ÷ 1.000 = 0,5 l
Expresiones complejas e incomplejas
Una medida compleja usa varias unidades: 2 km 350 m. Una medida incompleja usa una sola unidad: 2.350 m o 2,35 km.
📘 Ejemplo
Convertir 3 km 450 m a metros (incompleja): 3 km = 3.000 m → 3.000 + 450 = 3.450 m
Convertir 4.250 g a forma compleja (kg y g): 4.250 g = 4 kg y 250 g → 4 kg 250 g
📌 Recuerda
Para pasar a unidades más pequeñas → multiplica. Para pasar a unidades más grandes → divide. Cada escalón del sistema métrico supone multiplicar o dividir por 10.
✏️ Ejercicios
1. Convierte a metros: a) 4,2 km = ___ m b) 350 cm = ___ m c) 6.800 mm = ___ m
2. Convierte a gramos: a) 3,75 kg = ___ g b) 0,5 kg = ___ g c) 2.500 mg = ___ g
3. Convierte a mililitros: a) 2,5 l = ___ ml b) 0,75 l = ___ ml c) 30 cl = ___ ml
4. Expresa en forma compleja: a) 3.750 m = ___ km ___ m b) 5.200 g = ___ kg ___ g
5. Expresa en forma incompleja: a) 5 km 280 m = ___ m b) 2 m 45 cm = ___ cm
6. Ordena de menor a mayor: 3 km, 3.500 m, 300 dam, 35 hm
7. Problema: Una piscina tiene 25 m de largo. ¿Cuántos centímetros son? Si nadas 4 largos, ¿cuántos metros recorres?
8. Problema: Una receta necesita 250 g de harina, 125 g de azúcar y 75 g de mantequilla. ¿Cuántos gramos en total? ¿Cuántos kilogramos?
9. Problema: Una botella tiene 1,5 l de agua. Bebes 350 ml. ¿Cuántos mililitros quedan?
10. ¿Qué es más pesado: 2,3 kg o 2.250 g? Justifica tu respuesta.
🎯 Actividad práctica
Medimos en casa: 1. Mide el largo y ancho de tu habitación en metros y centímetros. Expresa ambas medidas solo en centímetros. 2. Pesa tres objetos de la cocina (un paquete de arroz, una bolsa de azúcar, una lata) y ordénalos de menor a mayor peso. 3. Busca envases en tu cocina y anota su capacidad en mililitros. Convierte cada una a litros.
🤔 ¿Sabías que...?
El Sistema Métrico Decimal se creó en Francia en 1791, durante la Revolución Francesa. Antes, cada región tenía sus propias unidades de medida, lo que provocaba muchos errores en el comercio. El metro se definió como la diez millonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre.
📋 Resumen de la lección
La unidad de longitud es el metro (m): 1 km = 1.000 m; 1 m = 100 cm = 1.000 mm.
La unidad de masa es el kilogramo (kg): 1 kg = 1.000 g.
La unidad de capacidad es el litro (l): 1 l = 1.000 ml.
Para pasar a unidades menores multiplicamos; para unidades mayores dividimos.
Las medidas complejas usan varias unidades; las incomplejas, una sola.
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