Prismas, cilindros y pirámides

Introducción

Una caja de cereales, una lata de refresco o las pirámides de Egipto son ejemplos de cuerpos geométricos. En esta lección estudiamos tres de ellos —el prisma, el cilindro y la pirámide—, sus elementos y cómo calcular su área y su volumen.

Explicación

Prisma. Es un poliedro con dos bases que son polígonos iguales y paralelos, unidas por caras laterales que son paralelogramos. Si las caras laterales son rectángulos perpendiculares a las bases, el prisma es recto; si además las bases son polígonos regulares, es un prisma regular. La altura es la distancia entre las bases. Según la base, hablamos de prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal…

• Área lateral (prisma recto): A_L = perímetro de la base · altura
• Área total: A_T = A_L + 2 · área de la base
• Volumen: V = área de la base · altura

Cilindro. Es un cuerpo de revolución que se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Tiene dos bases que son círculos iguales de radio r y una superficie lateral que, desplegada, es un rectángulo de base 2πr y altura h.

• Área lateral: A_L = 2πr · h
• Área total: A_T = 2πrh + 2πr²
• Volumen: V = πr² · h

Pirámide. Es un poliedro cuya base es un polígono y cuyas caras laterales son triángulos que se unen en un punto llamado vértice o cúspide. La altura es la distancia del vértice a la base. En una pirámide regular (base regular y vértice sobre el centro de la base), la altura de cada cara lateral se llama apotema de la pirámide.

• Área lateral (pirámide regular): A_L = (perímetro de la base · apotema) / 2
• Área total: A_T = A_L + área de la base
• Volumen: V = (área de la base · altura) / 3

Observa que una pirámide tiene exactamente la tercera parte del volumen de un prisma con la misma base y la misma altura. La altura h, la apotema de la pirámide y la apotema de la base forman un triángulo rectángulo, así que se pueden relacionar con el teorema de Pitágoras.

Ejemplo

Ejemplo 1 (prisma). Un prisma recto tiene una base rectangular de 3 cm × 4 cm y una altura de 10 cm. Perímetro de la base: 14 cm; área de la base: 12 cm². A_L = 14 · 10 = 140 cm²; A_T = 140 + 2 · 12 = 164 cm²; V = 12 · 10 = 120 cm³.

Ejemplo 2 (cilindro). Un cilindro tiene r = 3 cm y h = 5 cm. A_L = 2π · 3 · 5 = 30π ≈ 94,25 cm²; A_T = 30π + 2π · 3² = 48π ≈ 150,80 cm²; V = π · 3² · 5 = 45π ≈ 141,37 cm³.

Ejemplo 3 (pirámide). Una pirámide cuadrangular regular tiene una base de 6 cm de lado y una altura de 4 cm. La apotema de la base es 3 cm (la mitad del lado), así que la apotema de la pirámide es √(4² + 3²) = √25 = 5 cm. A_L = (24 · 5) / 2 = 60 cm²; A_T = 60 + 36 = 96 cm²; V = (36 · 4) / 3 = 48 cm³.

Ejercicios