Fuerza de Lorentz, ley de Ampère e inducción

Fuerza de Lorentz, ley de Ampère e inducción

Introducción

Electricidad y magnetismo son dos caras de una misma interacción: el electromagnetismo. En esta lección estudiamos tres ideas clave: cómo actúa un campo magnético sobre las cargas en movimiento (fuerza de Lorentz), cómo las corrientes eléctricas crean campos magnéticos (ley de Ampère) y cómo un campo magnético variable genera corriente eléctrica (inducción electromagnética). Estas tres leyes explican el funcionamiento de motores, generadores, transformadores, aceleradores de partículas y espectrómetros de masas.

Explicación

1. Fuerza de Lorentz sobre una carga

Una carga q que se mueve con velocidad v en un campo magnético B sufre una fuerza:

F = q (v × B), cuyo módulo es F = |q| v B sen α, siendo α el ángulo entre v y B.

• La fuerza es siempre perpendicular a v y a B. Su sentido se obtiene con la regla de la mano derecha (y es el contrario si la carga es negativa).
• Si la carga se mueve paralela a B (α = 0° o 180°), la fuerza es nula. Si está en reposo, tampoco hay fuerza magnética.
• Como la fuerza es perpendicular a la velocidad, no realiza trabajo: cambia la dirección de la velocidad, pero no su módulo ni la energía cinética.
• Si además hay un campo eléctrico E, la fuerza total es F = q (E + v × B); esta expresión completa es la fuerza de Lorentz.

Cuando v es perpendicular a B uniforme, la carga describe una circunferencia. Igualando la fuerza magnética a la centrípeta, |q| v B = m v²/r, se obtiene:

r = m v / (|q| B) y el periodo T = 2π m / (|q| B), que no depende de la velocidad (base del ciclotrón).

2. Fuerza sobre un conductor con corriente

Un hilo recto de longitud L por el que circula una corriente I dentro de un campo B sufre la fuerza F = I (L × B), de módulo F = I L B sen α. Es el principio del motor eléctrico.

3. Campo magnético creado por corrientes y ley de Ampère

Las corrientes crean campos magnéticos (Ørsted, 1820). La ley de Ampère dice que la circulación del campo magnético a lo largo de una línea cerrada es proporcional a la corriente que atraviesa la superficie que encierra:

∮ B · dl = μ₀ I_encerrada, con μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A (permeabilidad del vacío).

• Hilo rectilíneo e indefinido: las líneas de campo son circunferencias concéntricas al hilo y B = μ₀ I / (2π d).
• Solenoide largo de N espiras y longitud ℓ: en su interior el campo es uniforme, B = μ₀ N I / ℓ.
• Dos hilos paralelos separados una distancia d: la fuerza por unidad de longitud es F/L = μ₀ I₁ I₂ / (2π d). Si las corrientes van en el mismo sentido se atraen; si van en sentidos opuestos se repelen.

A diferencia del campo eléctrico, las líneas del campo magnético son cerradas: no existen monopolos magnéticos.

4. Inducción electromagnética: leyes de Faraday y Lenz

El flujo magnético a través de una superficie es Φ = B · S · cos θ (en weber, Wb), siendo θ el ángulo entre B y la normal a la superficie. Faraday (y, de forma independiente, Henry) descubrió en 1831 que cuando el flujo varía aparece una fuerza electromotriz inducida:

ε = −N · dΦ/dt (N = número de espiras).

• El signo menos expresa la ley de Lenz: la corriente inducida crea un campo que se opone a la variación de flujo que la produce. Es una consecuencia de la conservación de la energía.
• El flujo puede variar porque cambia B, el área S o el ángulo θ.
• Barra móvil: una barra de longitud L que se mueve con velocidad v perpendicular a B genera ε = B L v.
• Generador: una bobina que gira con velocidad angular ω produce ε(t) = N B S ω sen(ωt): corriente alterna.

Ejemplo

Ejemplo 1 (fuerza de Lorentz). Un protón (m = 1,67 × 10⁻²⁷ kg, q = 1,6 × 10⁻¹⁹ C) entra con v = 2 × 10⁶ m/s perpendicularmente a un campo B = 0,5 T. Calcula la fuerza y el radio de su trayectoria.

F = q v B = 1,6 × 10⁻¹⁹ · 2 × 10⁶ · 0,5 = 1,6 × 10⁻¹³ N.
r = m v / (q B) = (1,67 × 10⁻²⁷ · 2 × 10⁶) / (1,6 × 10⁻¹⁹ · 0,5) = 4,2 × 10⁻² m ≈ 4,2 cm.

Ejemplo 2 (ley de Ampère). Calcula el campo magnético a 5 cm de un hilo largo por el que circulan 10 A, y el campo dentro de un solenoide de 500 espiras y 25 cm de longitud con I = 2 A.

Hilo: B = μ₀ I / (2π d) = (4π × 10⁻⁷ · 10) / (2π · 0,05) = 4 × 10⁻⁵ T.
Solenoide: B = μ₀ N I / ℓ = (4π × 10⁻⁷ · 500 · 2) / 0,25 = 5,0 × 10⁻³ T.

Ejemplo 3 (inducción). Una barra conductora de 0,5 m se desliza a 4 m/s sobre unos raíles, perpendicularmente a un campo de 0,8 T. El circuito tiene una resistencia de 2 Ω. Calcula la fem y la intensidad inducidas.

ε = B L v = 0,8 · 0,5 · 4 = 1,6 V. I = ε / R = 1,6 / 2 = 0,8 A. Por la ley de Lenz, la corriente inducida produce sobre la barra una fuerza que se opone a su movimiento.

Ejercicios